Линейная алгебра



Матрицу

будет иметь оператор:

  • дифференцирования в пространстве в базисе
  • (Правильный ответ) в пространстве в базисе из матричных единиц
  • (A, B — фиксированные матрицы) в пространстве в базисе, состоящем из матричных единиц

Найти производную от det(A) по х, если

  • x2(x+3)(x-5)
  • (Правильный ответ) 5×4+8×3-5×2
  • x2(x-3)(x+5)
  • x4-2×3-15×2
  • -5×4+8×3+5×2
  • x4-2×3-15×2

Линейное преобразование в базисе имеет матрицу

. Как будет выглядеть матрица этого же преобразования в базисе: ?

  • (Правильный ответ)

Найти производную от det(A) по х, если

  • x2(x+3)(x-5)
  • -5×4+8×3+5×2
  • x2(x-3)(x+5)
  • (Правильный ответ) 5×4+8×3-5×2
  • x4-2×3-15×2
  • x4-2×3-15×2

Выберите верные утверждения:

  • (Правильный ответ) существуют такие А и B, что rank (AB)=rank (BA)
  • всегда rank A=rank (ATA)
  • для любой матрицы А найдется такая матрица
    I, что AI=A, IA=A, называемая единичной
  • (Правильный ответ) из линейно зависимой системы векторов всегда можно выбрать несколько линейно независимых
  • всегда rank(?A)=rank A

Базис ядра: будет иметь матрица:

  • (Правильный ответ)

Какое собственное значение будет иметь матрица порядка n.

  • (Правильный ответ)

Найти общее решение в зависимости от параметра

  • (Правильный ответ)

Выберите не верные утверждения:

  • (Правильный ответ) если для любых элементов x и y , то билинейная форма называется симметрической
  • (Правильный ответ) если для каждого элемента x , то билинейная форма называется кососимметрической
  • (Правильный ответ) элементы x и y модуля с билинейной формой называется ортогональной, если

Какое доказательство, из ниже переичсленных, доказывает, что для нормального оператора в унитарном пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов?

  • (Правильный ответ) инвариантное подпространство для нормального оператора инвариантно и для сопряженного и ограничение нормального оператора на инвариантном подпространстве нормально. Поэтому, пространство можно разбивать в прямую ортогональную сумму инвариантных подпространств до тех пор, пока не придем к одномерным подпространствам.
  • пусть . Тогда и . Следовательно, .
  • для любой нормальной матрицы А существует унитарная матрица С такая, что диагональна. Именно, в качестве С можно взять матрицу преобразования от исходного базиса к ортонормированному базису из собственных векторов.

Если для любых элементов x и y , то билинейная форма называется:

  • кососимметрической
  • кимплектической
  • (Правильный ответ) симметрической

Какое доказательство, из ниже перечисленных, доказывает теорему:»Для любого вектора существует единственная ортогональная проекция на подпространство W»?

  • (Правильный ответ) Выберем в пространстве W ортонормированный базис . Рассмотрим вектор . Условие означает, что , т.е. . Выбрав такие числа , получим требуемый вектор .
  • любой вектор можно представить в виде , где и . Кроме того, если , то . В самом деле, тогда и , поэтому . Следовательно, . Выберем в качестве базиса V объединение базисов Im P и Ker P. Вэтом базисе матрица оператора P имеет требуемый вид.
  • если , то . состоит из векторов , т.е. . Аналогично .

Какой угол будет между векторами , ?

  • (Правильный ответ)

  • det(-A)=-det(A)
  • (Правильный ответ) если столбец матрицы умножить на число, то детерминант умножится на то же самое число
  • (Правильный ответ) если после перстановки столбцов матрицы детерминант не изменился, то матрица — вырожденная

Найти det A, если

  • -4
  • 4
  • 6
  • (Правильный ответ) -6
  • -5
  • 5

Какое ядро отображения будет иметь матрица

  • (Правильный ответ) базис ядра:
  • базис ядра:
  • базис ядра:

Как будет выглядеть матрица X в уравнении

  • (Правильный ответ)

Матрица

будет иметь оператор:

  • поворота плоскости на угол в произвольном ортонормированном базисе
  • в пространстве в базисе из матричных единиц
  • (Правильный ответ) проектирования трехмерного пространства на координптную ось вектора параллельно координатной плоскости векторов и в базисе

Какое из утверждений верное?

  • умножение матриц АB определено только в том случае, если количества элементов в матрицах совпадают
  • (Правильный ответ) умножение матриц АB определено только в том случае, если количество строк в матрице А соответствует количеству столбцов в матрице B
  • умножение матриц АB определено только в том случае, если матрица А имеет размерность m x n, а Вn x m

Какая система линейных уравнений, из ниже перечисленных, не имеет решений?

  • (Правильный ответ)

Многочлены

называются:

  • рангом — матрицы
  • (Правильный ответ) инвариантными множителями — матрицы
  • характеристическим многочленом матрицы А

Линейное преобразование в базисе имеет матрицу

Как будет выглядеть матрица в базисе ?

  • (Правильный ответ)

Как называется оператор , если ?

  • (Правильный ответ) ортогональным
  • самосопряженным
  • сопряженным линейному оператору

Из равенства следует, что , где k — степень . Приведенное выше доказательство, доказывает, что:

  • (Правильный ответ) в пространстве линейный оператор имеет множество собственных значений
  • если оператор имеет собственное значение , то одно из чисел и является собственным значением оператора
  • если оператор А невырожденный, то операторы А и имеют одни и те же собственные векторы

Матрицы

и

будет иметь оператор:

  • (Правильный ответ) поворота трехмерного пространства на угол вокруг прямой, заданной в прямоугольной системе координат уравнениями , в базисе из единичных векторов осей координат
  • (А, В — фиксированные матрицы в пространстве ) в базисе из матричных единиц
  • дифференцирования в пространстве в базисе

Какие собственные значения будет иметь матрица

  • (Правильный ответ)

Пусть — линейное преобразование пространства . Линейное подпространство называется инвариантным относительно , если:

  • (Правильный ответ) для каждого вектора X из вектор Ax также принадлежит
  • для любого и
  • для любого

Какое скалярное произведение будет иметь произвольные векторы

Узнать сколько стоит решение этого задания
(ответ в течение 5 мин.)
X