Эксперт по сдаче вступительных испытаний в ВУЗах
8. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Приближения функции.
Введение. Аппроксимации граничных условий для дифференциального уравнения второго порядка. Порядок погрешности решения дифференциального уравнения второго порядка определяется и порядком аппроксимации гранич-ных условий. Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения (раздел 7)
,
удовлетворяющее двум краевым условиям (КУ):
, (8.1)
,
где , — заданные числа.
В частности, если , , то такое краевое условие называется условием первого рода. Если , , такое краевое условие называется условием второго рода. В общем случае , , краевое условие называется условием третьего рода.
Пусть отрезок разбит на отрезков равномерным шагом и в точке , , .
Найдем разностный аналог для производных (8.1):
для второй производной
А для первой первой производной на отрезке двух шагов имеем
и уравнение (8.1) в конечно- разностном аналоге можно представить в виде
,
и в граничных точках слева и справа отрезка интегрирования имеем
в точках и .
Если разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки , то
Пусть -непрерывная дифференцируемая функция, тогда можно получить следующие приближения для производных на границе:
в точке
, . (8.2)
Аналогично в точке
, . (8.3)
Видим, что производные на границе аппроксимируются формулами (8.2) и (8.3) с первым порядком точности.
Точность аппроксимации производных на границе (а следовательно и точность самого решения) можно повысить с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа.
8.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
Приближения функции
Пусть даны основные системы функций , доста-точно гладких и непрерывно дифференцируемых. Рассмотрим обобщенный многочлен (полином) в виде
где постоянные коэффициенты.
Постановка задачи о приближении: данную функцию требует-ся приближенно заменить (аппроксимировать) обобщенным полиномом так, чтобы отклонение функций и на заданном множестве было наименьшим. Это можно достичь подбором коэффициентов . При этом полином называется аппроксимирующим.
Если множество состоит из отдельных точек , то приближение называется интегральным. В нашем случае , тогда
(8.4)
Требуется аппроксимировать функцию полиномом .
Интерполяция функций. Считается, что и близкими (име-ющими малое отклонение), если они совпадают на заданной системе точек . Т. е. , .
Полином называется интерполяционным, если и коэффици-енты определяются из системы уравнений.
(8.5)
Определитель этой системы называется определителем Вандермонда.
Полином коэффициенты которого определяются системой (8.5), называется интерполяционным полиномом Лагранжа для и этот по-лином может быть записан в виде:
. (8.6)
При различных степенях имеем:
;
;
;
.
В соответствии с теоремой Виетта имеем
Пример. Построить интерполяционный полином совпадающий с функцией в точках
В этих точках .
В качестве примера рассмотрим полином второй степени ( ), тогда искомый полином Из формулы Лагранжа имеем
или
И .
При имеем . Калькулятор дает 1,732051.
Таким образом с определенным приближением .
8.2. Погрешность интерполяции
Пусть , где — остаточный член, погрешность интерполяции. Если относительно ничего не известно, кроме ее значения в узлах, то никаких полезных суждений относительно сделать нельзя.
На основании теоремы Ролля о среднем можно получить выражение оста-точного члена в предположении, что т.е. определена на отрезке и имеет на нем непрерывные производные до порядка включительно, отрезок содержит все узлы интерполяции и произвольную точку :
, (8.7)
где , тогда
Здесь — некоторая неизвестная точка.
Оценим погрешность интерполяции в текущей точке :
(8.8)
где .
И оценим максимальную погрешность интерполяции на всем отрезке :
(8.9)
Пример: Оценить погрешность приближения функции в точ-ке и на всем отрезке с помощью интерполяционного много-члена Лагранжа второй степени, построенного на узлах
Имеем: , , .
.
Погрешность в точке составит:
.
А максимальная погрешность на всем отрезке :
Так как в точке , следовательно в этой точке имеем экстремум. Можно показать, вторая производная в этой точке меньше нуля, т.е. в этой точке функция достигает максимума.
Линейная интерполяция
При интерполяция называется линейной.
.
Если ввести обозначения то
,
величина – называется фазой интерполяции, . При этом функция заменяется хордой
Погрешность линейной интерполяции
Оценка погрешности интерполяции в текущей точке :
,
И оценка максимальной погрешности интерполяции на всем отрезке :
,
и
, .
Следовательно, линейная интерполяция между двумя точками имеет второй порядок точности.
Для аппроксимации граничных условий (8.1)
,
,
воспользуемся квадратичным полиномом Лагранжа по трем точкам отрезка
,
полагая находим для производной на границе
, , (8.10)
аналогично для производной на границе
, . (8.11)
Формулы (8.10), (8.11) аппроксимируют первые производные на границе со вторым порядком точности. И они повышают точность решения дифферен-циального уравнения второго порядка.
Пример расчета: пусть в соответствии с решением дифференциального уравнения (работа №7) получены решения в четырех точках отрезка.
0,9 1,421 1,1 1,152
1 1,296 1,2 1
Требуется построить гладкую функцию по четырем точкам, которые приведены в таблице.
Т.е. требуется построить интерполяционный полином на отрезке , =0,9; =1; =1,1; =1,2.
В этих точках
=1,421; =1,296; =1,1152; =1
Интерполяционный полином Лагранжа для имеет вид:
После подстановки и вычисления имеем
y= = 1,83 — 6,45 + 6,037x — 0,124.
Таким образом получаем решение дифференциального уравнения на всем отрезке интегрирования, рис. 8.1
Рис. 8.1
Ссылка на первоисточник:
https://www.mirea.ru
Оставить комментарий
Inna Petrova 18 минут назад
Нужно пройти преддипломную практику у нескольких предметов написать введение и отчет по практике так де сдать 4 экзамена после практики
Иван, помощь с обучением 25 минут назад
Inna Petrova, здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru
Коля 2 часа назад
Здравствуйте, сколько будет стоить данная работа и как заказать?
Иван, помощь с обучением 2 часа назад
Николай, здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru
Инкогнито 5 часов назад
Сделать презентацию и защитную речь к дипломной работе по теме: Источники права социального обеспечения. Сам диплом готов, пришлю его Вам по запросу!
Иван, помощь с обучением 6 часов назад
Здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru
Василий 12 часов назад
Здравствуйте. ищу экзаменационные билеты с ответами для прохождения вступительного теста по теме Общая социальная психология на магистратуру в Московский институт психоанализа.
Иван, помощь с обучением 12 часов назад
Василий, здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru
Анна Михайловна 1 день назад
Нужно закрыть предмет «Микроэкономика» за сколько времени и за какую цену сделаете?
Иван, помощь с обучением 1 день назад
Анна Михайловна, здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru
Сергей 1 день назад
Здравствуйте. Нужен отчёт о прохождении практики, специальность Государственное и муниципальное управление. Планирую пройти практику в школе там, где работаю.
Иван, помощь с обучением 1 день назад
Сергей, здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru
Инна 1 день назад
Добрый день! Учусь на 2 курсе по специальности земельно-имущественные отношения. Нужен отчет по учебной практике. Подскажите, пожалуйста, стоимость и сроки выполнения?
Иван, помощь с обучением 1 день назад
Инна, здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru
Студент 2 дня назад
Здравствуйте, у меня сегодня начинается сессия, нужно будет ответить на вопросы по русскому и математике за определенное время онлайн. Сможете помочь? И сколько это будет стоить? Колледж КЭСИ, первый курс.
Иван, помощь с обучением 2 дня назад
Здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru
Ольга 2 дня назад
Требуется сделать практические задания по математике 40.02.01 Право и организация социального обеспечения семестр 2
Иван, помощь с обучением 2 дня назад
Ольга, здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru
Вика 3 дня назад
сдача сессии по следующим предметам: Этика деловых отношений - Калашников В.Г. Управление соц. развитием организации- Пересада А. В. Документационное обеспечение управления - Рафикова В.М. Управление производительностью труда- Фаизова Э. Ф. Кадровый аудит- Рафикова В. М. Персональный брендинг - Фаизова Э. Ф. Эргономика труда- Калашников В. Г.
Иван, помощь с обучением 3 дня назад
Вика, здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru
Игорь Валерьевич 3 дня назад
здравствуйте. помогите пройти итоговый тест по теме Обновление содержания образования: изменения организации и осуществления образовательной деятельности в соответствии с ФГОС НОО
Иван, помощь с обучением 3 дня назад
Игорь Валерьевич, здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru
Вадим 4 дня назад
Пройти 7 тестов в личном кабинете. Сооружения и эксплуатация газонефтипровод и хранилищ
Иван, помощь с обучением 4 дня назад
Вадим, здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru
Кирилл 4 дня назад
Здравствуйте! Нашел у вас на сайте задачу, какая мне необходима, можно узнать стоимость?
Иван, помощь с обучением 4 дня назад
Кирилл, здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru
Oleg 4 дня назад
Требуется пройти задания первый семестр Специальность: 10.02.01 Организация и технология защиты информации. Химия сдана, история тоже. Сколько это будет стоить в комплексе и попредметно и сколько на это понадобится времени?
Иван, помощь с обучением 4 дня назад
Oleg, здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru
Валерия 5 дней назад
ЗДРАВСТВУЙТЕ. СКАЖИТЕ МОЖЕТЕ ЛИ ВЫ ПОМОЧЬ С ВЫПОЛНЕНИЕМ практики и ВКР по банку ВТБ. ответьте пожалуйста если можно побыстрее , а то просто уже вся на нервяке из-за этой учебы. и сколько это будет стоить?
Иван, помощь с обучением 5 дней назад
Валерия, здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru
Инкогнито 5 дней назад
Здравствуйте. Нужны ответы на вопросы для экзамена. Направление - Пожарная безопасность.
Иван, помощь с обучением 5 дней назад
Здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru
Иван неделю назад
Защита дипломной дистанционно, "Синергия", Направленность (профиль) Информационные системы и технологии, Бакалавр, тема: «Автоматизация приема и анализа заявок технической поддержки
Иван, помощь с обучением неделю назад
Иван, здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru
Дарья неделю назад
Необходимо написать дипломную работу на тему: «Разработка проекта внедрения CRM-системы. + презентацию (слайды) для предзащиты ВКР. Презентация должна быть в формате PDF или формате файлов PowerPoint! Институт ТГУ Росдистант. Предыдущий исполнитель написал ВКР, но работа не прошла по антиплагиату. Предыдущий исполнитель пропал и не отвечает. Есть его работа, которую нужно исправить, либо переписать с нуля.
Иван, помощь с обучением неделю назад
Дарья, здравствуйте! Мы можем Вам помочь. Прошу Вас прислать всю необходимую информацию на почту и написать что необходимо выполнить. Я посмотрю описание к заданиям и напишу Вам стоимость и срок выполнения. Информацию нужно прислать на почту info@the-distance.ru