Эксперт по сдаче вступительных испытаний в ВУЗах
Контрольная работа 1 семестр по дисциплине: «Физика»
1 вариант
1. Материальная точка начинает двигаться из начала координат в момент времени № = 0 с нулевой начальной скоростью и ускорением, изменяющимся с0 временем по закону а-=7Ь+ 7%, где Б=3м/с?, к=12м/с*. На каком
расстоянии от начала координат окажется точка через время {=/с?
Дано:
b = 3 м/с2
k = 12 м/с3
t = 1 c
a ⃗ = i ⃗ b + j ⃗ k t
x_0 = 0 , t_0 = 0
Найти: S — ?
Решение:
Расстояние от начала координат в момент времени t равно модулю вектора перемещения r ⃗ = i ⃗ rx + j ⃗ry + k ⃗ rz
S = √(〖r_x〗^2+〖r_y〗^2+〖r_z〗^2 )
По определению
ускорение a ⃗ = d/dt v ⃗ , скорость v ⃗ = d/dt r ⃗.
Отсюда
r ⃗ = ∫▒〖v ⃗ dt〗
v ⃗ = ∫▒〖a ⃗ dt〗
Согласно условию a ⃗ = i ⃗ 3 + j ⃗ 12 t. Начальная скорость (v_0 ) ⃗ равна 0, движение из начала координат (r_0 ) ⃗ = 0
Найдем скорость
v ⃗ = ∫▒〖(i ⃗ 3 + j ⃗ 12 t) dt〗 = i ⃗3t + j ⃗ 12∙1/2 t^2,
теперь для радиуса-вектора можно записать
r ⃗ = ∫▒〖(i ⃗3t + j ⃗ 12∙1/2 t^2)dt〗 = i ⃗3∙1/2 t^2+ j ⃗ 12∙1/2 ∙1/3 t^3
В момент времени t = 1 c радиус-вектор материальной точки
r ⃗ = i ⃗3∙1/2 1^2+ j ⃗ 12∙1/2 ∙1/3 1^3 = i ⃗ 3/2+ j ⃗ 2
модуль вектора r ⃗
S = √(〖(3/2)〗^2+2^2+0^2 ) = 2,5 (м)
Ответ: S = 2,5 м
2. Сформулировать уравнения движения частицы массы т: а) в проекциях на оси х,у,= декартовой системы координат; 6) в проекциях на направления касательной и нормали к траектории. Консервативна ли сила Е =аха, —Ьуе, +с=2.? В случае положительного ответа найти потенциальную энергию И (х.у.).
Согласно принципу детерминированности, при фиксированных внешних условиях закон движения частицы r ⃗ = r ⃗ (t) полностью определяется заданием ее начального состояния, т.е. положения r ⃗0 и скорости v ⃗0 в некоторый момент времени t0 = 0:
r ⃗ = r ⃗ (t, r ⃗0, v ⃗0 )
Согласно Второму закону Ньютона, при фиксированных внешних условиях ускорение частицы a ⃗ в любой момент времени t однозначно определяется положением r ⃗ и скоростью v ⃗ в этот же момент времени:
F ⃗=m a ⃗ = m d/dt v ⃗ = m d/dt (d/dt r ⃗)
При решении конкретных задач удобно, как правило, пользоваться какой-то определенной системой координат.
В частности, если выбрана Декартова система координат, то прямая задача для одной свободной частицы будет ставиться следующим образом:
и решение ее запишется как
б) в направлениях по касательной и по нормали второй закон Ньютона
F ⃗=m a ⃗ = m d/dt v ⃗ = m d/dt (d/dt r ⃗)
необходимо записать в виде:
по касательной, ускорение тангенциальное
по нормали, ускорение нормальное
Модуль тангенциального ускорения характеризует изменение величины (абсолютного значения) скорости. Модуль нормального ускорения характеризует изменение направления скорости.
a ⃗ = (a_τ ) ⃗+ (a_n ) ⃗ = dv/dt τ ⃗ + v^2/R n ⃗, |a ⃗| = √(〖a_τ〗^2+ 〖a_n〗^2 )
F ⃗_τ = m d/dt v ⃗
F ⃗_n = m v^2/R n ⃗
r ⃗ ̈ = dv/dt τ ⃗ + v^2/R n ⃗
r ⃗ ̈ = r ̇ τ ⃗ + r ̇^2/R n ⃗
в)нахождение потенциальной энергии по силе – решается интегрированием
Согласно условию F ⃗ = ax(e_x ) ⃗ — by(e_y ) ⃗ + cz(e_z ) ⃗
заданная сила является консервативной, так как сила не зависит от времени, и, кроме того, rot F ⃗0 = 0
Зафиксируем нуль потенциальной энергии
теперь для потенциальной энергии запишем
U(r ⃗) = — ∫_(r_0 ) ⃗^r ⃗▒〖(F ⃗,dρ ⃗)〗 = — ∫_(r_0 ) ⃗^r ⃗▒〖 (ax(e_x ) ⃗ — by(e_y ) ⃗ + cz(e_z ) ⃗)dρ ⃗ 〗
U(r ⃗) = -a x^2/2 (e_x ) ⃗ + b y^2/2 (e_y ) ⃗ — c z^2/2 (e_z ) ⃗
Ответ: a) r ⃗ ̈ = x ̈ i ⃗ + y ̈ j ⃗ + z ̈ k ⃗
б) r ⃗ ̈ = r ̇ τ ⃗ + r ̇^2/R n ⃗
в) сила консервативна, U(r ⃗) = -a x^2/2 (e_x ) ⃗ + b y^2/2 (e_y ) ⃗ — c z^2/2 (e_z ) ⃗
Ссылка на первоисточник:
http://www.sport-ural.ru/
