Эксперт по сдаче вступительных испытаний в ВУЗах
Контрольно-курсовая работа Дисциплина «Эконометрика»
4 вариант
Задание
Экономист, изучая зависимость уровня издержек обращения
Y (тыс. руб.) от объема товарооборота
X (тыс. руб.), обследовал 10 магазинов, торгующих одинаковым ассортиментом товаров, и получил следующие данные (см. таблицу 1).
Задание:
- Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.
- Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной и гиперболической регрессии.
- Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
- Дайте с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
- Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений регрессии.
- Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в п.п. 3-5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте обоснование этого шага.
- Для выбранной лучшей модели постройте таблицу дисперсионного анализа и найдите доверительные интервалы для параметров регрессии и коэффициента корреляции.
- Сделать прогноз значения Y при x = x*(см. задание) и найти доверительные интервалы прогноза для двух уравнений регрессии:
.
- Оценить полученные результаты и сделать вывод.
Таблица 1.
| № вар-та |
№ п/п |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
х* |
| 4 |
Х |
50 |
130 |
100 |
80 |
90 |
70 |
150 |
60 |
140 |
110 |
120 |
| Y |
4,2 |
10,8 |
9,6 |
6,3 |
7,4 |
6,2 |
11,4 |
3,3 |
12,2 |
10,5 |
Решение:
- Построим диаграмму рассеивания по исходным данным.
Из диаграммы следует, что между показателями
X и
Y действительно наблюдается зависимость. Но сделать вывод, какая именно, трудно, поэтому рассмотрим все три регрессии, а затем выберем лучшую.
А) Рассмотрим линейную регрессию.
Составим исходную расчетную таблицу.
Таблица 2.
| № п/п |
Объем товарооборота (тыс. руб.) |
Издержки (тыс. руб.) |
|
|
|
|
|
|
|
| 1 |
50 |
4,2 |
2500 |
17,64 |
210 |
3,995 |
0,205 |
0,042 |
4,88 |
| 2 |
130 |
10,8 |
16900 |
116,64 |
1404 |
10,987 |
-0,187 |
0,035 |
1,73 |
| 3 |
100 |
9,6 |
10000 |
92,16 |
960 |
8,365 |
1,235 |
1,525 |
12,86 |
| 4 |
80 |
6,3 |
6400 |
39,69 |
504 |
6,617 |
-0,317 |
0,100 |
5,03 |
| 5 |
90 |
7,4 |
8100 |
54,76 |
666 |
7,491 |
-0,091 |
0,008 |
1,23 |
| 6 |
70 |
6,2 |
4900 |
38,44 |
434 |
5,743 |
0,457 |
0,209 |
7,37 |
| 7 |
150 |
11,4 |
22500 |
129,96 |
1710 |
12,735 |
-1,335 |
1,782 |
11,71 |
| 8 |
60 |
3,3 |
3600 |
10,89 |
198 |
4,869 |
-1,569 |
2,462 |
47,55 |
| 9 |
140 |
12,2 |
19600 |
148,84 |
1708 |
11,861 |
0,339 |
0,115 |
2,78 |
| 10 |
110 |
10,5 |
12100 |
110,25 |
1155 |
9,239 |
1,261 |
1,590 |
12,01 |
| Итого |
980 |
81,9 |
106600 |
759,27 |
8949 |
81,902 |
-0,002 |
7,869 |
107,15 |
| Сред.зн. |
98 |
8,19 |
10660 |
75,927 |
894,9 |
— |
— |
— |
10,72 |
Для расчета используем следующие формулы:
Функция издержек выражается зависимостью:
.
Для определения коэффициентов «a» и «b» воспользуемся методом наименьших квадратов (МНК)
Домножим уравнение (1) системы на (-98), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.
10560b = 922,8или b = 0,0874.
Коэффициент корреляции b можно находить по формуле (2), не решая систему (1) непосредственно:
Результат аналогичен.
Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1) системы (1):
10a = 81,9 — 980b; 10a = 81,9 — 980*0,0874; 10a = -3,752;
a = -0,375.
Или можно «a» вычислить по формуле (3) ,
Уравнение регрессии будет иметь вид: = -0,375 + 0,0874 x
Затем, подставляя различные значения из столбца 2, получим теоретические значения для столбца 7: аналогично для … и .
В столбце 8 находим разность текущего значения и (теоретического).
Коэффициент аппроксимации определим по формуле:
Средняя ошибка аппроксимации:
Допустимый предел значений — не более 10 %, это говорит о том, что уравнение регрессии практически точно аппроксимирует исходную зависимость.
Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции . Найдем его по формуле для
Коэффициент . Характер связи устанавливается по таблице Чеддока:
Таблица 3.
| Диапазон
измерения |
0,1-0,3 |
0,3-0,5 |
0,5-0,7 |
0,7-0,9 |
0,9-0,99 |
| Характер тесноты
связи |
слабая |
умеренная |
заметная |
высокая |
весьма
высокая |
В данной задаче получилась связь прямая, весьма высокая.
- Дисперсионный анализ. Общая сумма квадратов отклонений (т.е. общая дисперсия ) равна:
где — общая сумма квадратов отклонений,
— сумма отклонений, обусловленная регрессией (факторная),
— остаточная сумма квадратов отклонений.
Остаточная сумма определена в таблице в 9 столбце и равна 7,869. Тогда объясненная (факторная) сумма квадратов будет равна
Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей доле дисперсии характеризует индекс детерминации . Он определяется отношением объясненной дисперсии к общей .
Качество всего уравнения регрессии в целом, проверяется F-
тестом.
Составим таблицу дисперсионного анализа:
Таблица 4.
| Источники вариации |
Число степеней свободы |
квадр.
отклонений. |
Дисперсия на 1 степ. свободы. |
F отн |
| Факт |
табл. (0,05) |
| общая |
9 |
88,509 |
80,64 |
81,951 |
5,32 |
| объясненная |
1 |
80,64 |
| остаточная |
8 |
7,869 |
0,984 |
F
табл определяем в зависимости от уровня значимости (α = 0,05) и числа степеней свободы (df=8): F
табл=5,32.
F-тест состоит в проверке гипотезы Н
о о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи r
ху.
Так как F
факт >F
табл (81,951>5,32), то гипотеза Н
о о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их значимость и надежность.
Б) Степенная регрессия
Для того, чтобы построить степенную модель, необходимо линеаризовать переменные путем логарифмирования обеих частей уравнения :
Пусть , тогда
Рассчитываем и b по формулам:
Все необходимые расчеты представлены в таблице 5.
Таблица 5.
| № п/п |
x |
y |
X |
Y |
XY |
X2 |
Y2 |
|
|
|
Ai |
| 1 |
50 |
4,2 |
3,9120 |
1,4351 |
5,6141 |
15,30392 |
2,0595 |
3,747 |
0,453 |
0,205 |
10,78 |
| 2 |
130 |
10,8 |
4,8675 |
2,3795 |
11,5825 |
23,69289 |
5,6622 |
11,158 |
-0,358 |
0,128 |
3,32 |
| 3 |
100 |
9,6 |
4,6052 |
2,2618 |
10,4158 |
21,20759 |
5,1156 |
8,269 |
1,331 |
1,771 |
13,86 |
| 4 |
80 |
6,3 |
4,382 |
1,8405 |
8,0653 |
19,20216 |
3,3876 |
6,409 |
-0,109 |
0,012 |
1,73 |
| 5 |
90 |
7,4 |
4,4998 |
2,0015 |
9,0063 |
20,24829 |
4,0059 |
7,332 |
0,068 |
0,005 |
0,92 |
| 6 |
70 |
6,2 |
4,2485 |
1,8245 |
7,7516 |
18,04971 |
3,329 |
5,503 |
0,697 |
0,486 |
11,25 |
| 7 |
150 |
11,4 |
5,0106 |
2,4336 |
12,1939 |
25,10647 |
5,9225 |
13,139 |
-1,739 |
3,024 |
15,26 |
| 8 |
60 |
3,3 |
4,0943 |
1,1939 |
4,8883 |
16,76366 |
1,4255 |
4,614 |
-1,314 |
1,728 |
39,83 |
| 9 |
140 |
12,2 |
4,9416 |
2,5014 |
12,3612 |
24,41983 |
6,2572 |
12,144 |
0,056 |
0,003 |
0,46 |
| 10 |
110 |
10,5 |
4,7005 |
2,3514 |
11,0526 |
22,09452 |
5,529 |
9,220 |
1,280 |
1,638 |
12,19 |
| Итого |
980 |
81,9 |
45,262 |
20,223 |
92,9317 |
206,089 |
42,694 |
81,535 |
0,365 |
9,000 |
109,6 |
| Средн.зн. |
98 |
8,19 |
4,5262 |
2,0223 |
9,2932 |
20,6089 |
4,2694 |
— |
— |
— |
10,96 |
Параметры будут равны:
Получили линейное уравнение:
Потенцируя которое, получим:
По этому уравнению заполняем вторую половину таблицы.
В) Уравнение гиперболы
Линеаризуется при замене , тогда
Все необходимые расчеты представим в таблице 6.
Таблица 6.
| № п/п |
x |
y |
|
|
|
|
|
|
Ai |
| 1 |
50 |
4,2 |
0,02 |
0,084 |
0,0004000 |
2,438 |
1,762 |
3,105 |
41,96 |
| 2 |
130 |
10,8 |
0,0077 |
0,0831 |
0,0000592 |
10,767 |
0,033 |
0,001 |
0,30 |
| 3 |
100 |
9,6 |
0,01 |
0,096 |
0,0001000 |
9,205 |
0,395 |
0,156 |
4,11 |
| 4 |
80 |
6,3 |
0,0125 |
0,0788 |
0,0001563 |
7,514 |
-1,214 |
1,473 |
19,26 |
| 5 |
90 |
7,4 |
0,0111 |
0,0822 |
0,0001235 |
8,453 |
-1,053 |
1,110 |
14,24 |
| 6 |
70 |
6,2 |
0,0143 |
0,0886 |
0,0002041 |
6,305 |
-0,105 |
0,011 |
1,69 |
| 7 |
150 |
11,4 |
0,0067 |
0,076 |
0,0000444 |
11,461 |
-0,061 |
0,004 |
0,54 |
| 8 |
60 |
3,3 |
0,0167 |
0,055 |
0,0002778 |
4,694 |
-1,394 |
1,942 |
42,23 |
| 9 |
140 |
12,2 |
0,0071 |
0,0871 |
0,0000510 |
11,139 |
1,061 |
1,126 |
8,70 |
| 10 |
110 |
10,5 |
0,0091 |
0,0955 |
0,0000826 |
9,821 |
0,679 |
0,462 |
6,47 |
| Сумма |
980 |
81,9 |
0,1152 |
0,8262 |
0,0014988 |
81,8 |
0,1031 |
9,389 |
139,50 |
| Ср. знач. |
98 |
8,19 |
0,0115 |
0,0826 |
0,0001499 |
— |
— |
— |
13,95 |
Найдем параметры и , используя МНК.
Для этого решим систему (1), учитывая, что .
Таким образом, получим систему уравнений:
Оценим тесноту связи результативным фактором и факторным признаком с помощью индекса корреляции (для нелинейных моделей) и коэффициента детерминации , которые рассчитываются по следующим формулам:
Найдем средний коэффициент эластичности по формулам, представленным в таблице 7.
Таблица 7
| Вид регрессии |
Формула для расчета |
| Линейная |
|
| Степенная |
|
| Гиперболическая |
|
Найдем среднюю ошибку аппроксимации по формуле:
Оценим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера:
Для сравнения полученных уравнений регрессии построим следующую таблицу:
Таблица 8.
| Вид регрессии |
, |
R2, r2 |
|
|
F |
|
| Линейная |
0,955 |
0,911 |
10,72 |
1,046 |
81,95 |
7,869 |
| Степенная |
0,948 |
0,898 |
10,96 |
1,142 |
78,43 |
9,000 |
| Гиперболическая |
0,946 |
0,894 |
13,95 |
0,762 |
67,47 |
9,389 |
Для всех моделей , следовательно, все модели являются адекватными.
Из итоговой таблицы видно, что коэффициент корреляции наибольший для линейной регрессии. Также для линейной регрессии сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от расчетных и коэффициент аппроксимации являются наименьшими.
Можно сделать вывод: наиболее сильное влияние на уровень издержек в зависимости от товарооборота получается при использовании в качестве аппроксимирующей функции линейную функцию.
Итак, в нашем примере лучшей является линейная модель. Для линейной регрессии выполним дальнейшие расчеты.
Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитывают t-критерий.
Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:
где , или из табл. дисперсионного анализа (0,984).
Определим стандартную ошибку для параметра «b»:
Критерий Стьюдента для параметра «b» равен 9,01.
Связь между F-критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается равенством:
Табличное значение t
табл критерия Стьюдента определяем для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы df = 8, , т.к. > , то гипотезу о несущественности коэффициента регрессии можно отклонить.
Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку для каждого показателя:
Доверительный интервал:
Для расчета доверительного интервала для параметра а, найдем:
, значит, гипотезу о несущественности коэффициента регрессии нельзя отклонить.
Найдем для него доверительный интервал:
В доверительный интервал для параметра а попадает нулевое значение, это подтверждает статистическую незначимость параметра а.
Найдем доверительный интервал для параметра r:
Прогнозное значение определяется путем подстановки в уравнение регрессии:
Вычислим ошибку прогноза для уравнения :
Выводы
Целью данной контрольно-курсовой работы было изучение зависимости уровня издержек обращения от объема товарооборота. Для этого были построены уравнения линейной, степенной и гиперболической парной регрессии.
В ходе проведенного исследования выяснилось, что можно использовать линейную функцию в качестве модели для описания взаимосвязи между уровнем издержек обращения и объемом товарооборота. Данная линейная функция имеет вид . На основе этого уравнения можно предположить, что с увеличением объема товарооборота на 1 тыс. руб. уровень издержек увеличивается в среднем на 0,0874 тыс. руб.
Средний коэффициент эластичности показывает, что при росте объема товарооборота на 1% уровень издержек в среднем увеличивается на 1,046%.
Уравнением линейной регрессии объясняется 91,1% вариации результативного признака (y), а на долю прочих факторов (не учтенных в модели) приходится 8,9%.
Уравнение практически точно аппроксимирует исходную зависимость (средняя ошибка аппроксимации незначительно превышает 10%) и является статистически значимым и пригодным для прогнозирования.
Так, полагая, что объем товарооборота может составить 120 тыс. руб., прогнозное значение уровня издержек составит 10,113 тыс. руб., при этом с вероятностью 0,95 можно утверждать, что доверительные интервалы прогноза индивидуального значения результативного признака составят или для уравнения без e.
Литература
- Новиков А.И. Эконометрика:Учеб.пособие. — М.: ИНФРА-М, 2010. — 144 с.
- Доугерти К. Введение в эконометрику. — М.: ИНФРА-М, 2001. — XIV, — 402с.
3 Елисеева И.И. Эконометрика: Учебник. — М.: Финансы и статистика, 2007.-576 с.
- Елисеева И.И., Курышева С.В., Гордиенко Н.М. Практикум по эконометрике: Учебное пособие. — М.: Финансы и статистика, 2008 — 344 с.
- Магнусян Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2001. — 454 с.
- Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. – 573 с.
- Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 435 с.
- Домбровский В.В. Эконометрика – М.: Новый учебник, 2004. – 342 с.
Ссылка на первоисточник:
https://kgeu.ru
