Эксперт по сдаче вступительных испытаний в ВУЗах
Лабораторная работа № 2.
Построение вариационного ряда и анализ эмпирических распределений
Назначение. Гистограмма является общеупотребительной формой представления выборочного распределения. Для ее вычисления диапазон изменения выборочных значений разбивают на некоторое число равных интервалов (бинов) и подсчитывают число значений, попадающих в каждый бин. При графическом представлении гистограммы на каждом интервале строится столбец, высота которого пропорциональна числу выборочных значений в данном интервале. Проверка выборочного распределения на нормальность проводится с целью верификации нулевой гипотезы об отсутствии различий между выборочным и нормальным распределениями по трем критериям (Колмогорова, омега-квадрат (
ω2) и хи-квадрат (
χ2) Пирсона).
Пример 1. Были исследованы электрофоретические характеристики нитрозогемоглобина (HbNO) человека и определено содержание белка во фракциях. Результаты по расчету содержания белка в одной из фракций представлены в табл. 7.
Таблица 7
Содержание белка в одной из фракций нитрозогемоглобина человека
| № п/п |
Содержание белка во фракции, % |
| 1 |
19,1 |
| 2 |
19,7 |
| 3 |
20,1 |
| 4 |
16,2 |
| 5 |
21,4 |
| 6 |
24,7 |
| 7 |
15,5 |
| 8 |
16,2 |
| 9 |
15,3 |
| 10 |
11,0 |
Для наглядного представления о характере распределения данного показателя полезно построить вариационный ряд и гистограмму распределения.
Для каждого интервала гистограммы выводятся следующие значения: левая граница интервала в исходных единицах (Х-лев.) и единицах стандартного отклонения (Х-станд.); частота класса, или интервала, — число выборочных значений, попавших в данный интервал, выраженное в абсолютных (Частота) и относительных (%) единицах; сумма накопленных частот — накопленное число выборочных значений до текущего интервала включительно в абсолютных (Накопл.) и относительных (%) единицах (табл. 8).
Таблица 8. Гистограмма
| Х-лев. |
Х-станд. |
Частота |
% |
Накопл. |
% |
| 11 |
-1,794 |
1 |
10 |
1 |
10 |
| 14,43 |
-0,9061 |
4 |
40 |
5 |
50 |
| 17,85 |
-0,01815 |
3 |
30 |
8 |
80 |
| 21,28 |
0,8698 |
2 |
20 |
10 |
100 |
| 24,7 |
1,758 |
— |
— |
— |
— |
По результатам расчетов строят гистограмму распределения (рис. 5).
Затем проводится проверка гипотезы об отсутствии различий между выборочным и нормальным распределениями по трем критериям согласия:
Колмогорова, омега-квадрат (
ω2) и хи-квадрат (
χ2) с уровнем значимости
Р:
Колмогоров=0,1722, Значимость=0,5258, степ.своб = 10.
Гипотеза 0: Распределение не отличается от нормального.
Омега-квадрат=0,03375, Значимость=0,5857, степ.своб = 10.
Гипотеза 0: Распределение не отличается от нормального.
Хи-квадрат=0,5115, Значимость=0,4745, степ.своб = 1.
Гипотеза 0: Распределение не отличается от нормального.
Вывод: Наблюдается тенденция к накоплению частот в средних классах выборки. Согласно результирующим уровням значимости всех трех критериев (Р>0,05), можно признать гипотезу о нормальном распределении содержания белка в данной электрофоретической фракции нитрозогемоглобина человека.
Пример 2. Была исследована частота встречаемости клеток с микроядрами у больных шизофренией (табл. 9), и получены следующие результаты.
Таблица 9
Частота встречаемости клеток с микроядрами у больных шизофренией
| № п/п |
Частота встречаемости микроядер на препарате, ‰ |
| 1 |
3,925 |
| 2 |
0,962 |
| 3 |
0,998 |
| 4 |
3,984 |
| 5 |
1,004 |
| 6 |
0,896 |
| 7 |
2,865 |
| 8 |
1,970 |
| 9 |
0,871 |
| 10 |
1,604 |
| 11 |
1,820 |
| 12 |
0,990 |
| 13 |
2,865 |
| 14 |
1,990 |
| 15 |
0,954 |
| 16 |
2,944 |
| 17 |
1,000 |
| 18 |
0,981 |
| 19 |
1,595 |
| 20 |
1,820 |
| 21 |
0,990 |
| 22 |
3,984 |
| 23 |
0,985 |
| 24 |
0,896 |
Таблица 10
Гистограмма
| Х-лев. |
Х-станд |
Частота |
% |
Накопл. |
% |
| 0,871 |
-0,8575 |
12 |
50 |
12 |
50 |
| 1,39 |
-0,3719 |
4 |
16,67 |
16 |
66,67 |
| 1,909 |
0,1137 |
2 |
8,333 |
18 |
75 |
| 2,428 |
0,5993 |
3 |
12,5 |
21 |
87,5 |
| 2,946 |
1,085 |
0 |
0 |
21 |
87,5 |
| 3,465 |
1,571 |
3 |
12,5 |
24 |
100 |
| 3,984 |
2,056 |
— |
— |
— |
— |
По результатам расчетов построим гистограмму (рис. 6).
Проверим гипотезу об отсутствии различий между выборочным и нормальным распределениями по трем критериям согласия (Колмогорова, омега-квадрат (
ω2) и хи-квадрат (
χ2) с уровнем значимости
Р):
Колмогоров=0,2682, Значимость=0,0003498, степ.своб = 24.
Гипотеза 1: Распределение отличается от нормального.
Омега-квадрат=0,327, Значимость=7,7х10
-5, степ.своб = 24.
Гипотеза 1: Распределение отличается от нормального.
Хи-квадрат=28,84, Значимость=7,454х10
-6, степ.своб = 3.
Гипотеза 1: Распределение отличается от нормального.
Вывод: Наблюдается тенденция к накоплению частот в первом классе выборки. Распределение не соответствует нормальному закону на высоком уровне значимости всех трех критериев. Это соответствует содержательным соображениям о том, что встречаемость цитогенетических аномалий ‑ событие редкое, и его распределение не может соответствовать закону Гаусса-Лапласа.
Задание.
- Повторите теоретический материал по теме «Законы распределения».
- Действуя по алгоритму, описанному в приведенных выше примерах, вручную и с помощью компьютера постройте гистограмму распределения частот для показателей роста, веса, возраста, количества опозданий на занятия за неделю или каких-либо других характеристик студентов вашей группы (желательно, чтобы группа была не менее 15 человек) и для случайно сгенерированных выборок разного объема. Какой из способов (ручной или машинный) более продуктивен? Дает представление о механизме процедуры построения вариационного ряда?
- Оформите работу в тетради. Сделайте выводы о характере распределений и их зависимости от размеров выборки.
- Если у вас есть собственные экспериментальные данные, постройте для них гистограмму распределения частот и проверьте распределение на нормальность.
Описательная статистика
Назначение. Раздел «Описательная статистика» предназначен для вычисления общеупотребительных выборочных характеристик (среднее значение, медиана, квартили, стандартное отклонение, дисперсия, ошибка среднего, доверительный интервал выборочной оценки, асимметрия и эксцесс).
Пример 1. Были исследованы электрофоретические характеристики нитрозогемоглобина (HbNO) человека и определено содержание белка во фракциях. Результаты по расчету содержания белка в одной из фракций представлены в табл. 1.
Таблица 1
Содержание белка в одной из фракций нитрозогемоглобина человека
| № п/п |
Содержание белка во фракции, % |
| 1 |
19,1 |
| 2 |
19,7 |
| 3 |
20,1 |
| 4 |
16,2 |
| 5 |
21,4 |
| 6 |
24,7 |
| 7 |
15,5 |
| 8 |
16,2 |
| 9 |
15,3 |
| 10 |
11,0 |
Сначала вычисляются основные выборочные характеристики: размер выборки, диапазон значений, выборочное среднее, ошибка вычисления среднего, выборочные дисперсия и стандартное отклонение (табл. 2).
Таблица 2
Описательная статистика
| Переменная |
Размер |
Диапазон |
Среднее |
Ошибка |
Дисперс |
Ст.откл |
Сумма |
| x1 |
10 |
11,00 — 24,70 |
17,92 |
1,22 |
14,88 |
3,86 |
179,20 |
Далее по подтверждению может быть выдана дополнительная статистика: медиана, квартили, размах доверительного интервала среднего, границы доверительного интервала дисперсии, ошибка стандартного отклонения (табл. 3).
Таблица 3
Дополнительная статистика
| Переменная |
Медиана |
Квартили |
ДовИнтСр. |
ДовИнтДисп |
Ош.СтОткл |
| x1 |
17,65 |
15,45; 20,43 |
2,73 |
7,04 — 49,59 |
1,86 |
Вывод: Данная выборка характеризуется средним значением содержания белка во фракции 17,92 % при стандартном отклонении 3,86 %. Следует отметить, что среднее (17,92 %) и медиана (17,65 %), а также межквартильные интервалы (11,00 — 15,45; 15,45 — 17,65; 17,65 — 20,43; 20,43 — 24,7) имеют близкие по величине абсолютные значения.
Пример 2. Была исследована частота встречаемости клеток с микроядрами у больных шизофренией (табл. 4), и получены следующие результаты.
Таблица 4
Частота встречаемости клеток с микроядрами у больных шизофренией
| № п/п |
Частота встречаемости микроядер на препарате, ‰ |
| 1 |
3,925 |
| 2 |
0,962 |
| 3 |
0,998 |
| 4 |
3,984 |
| 5 |
1,004 |
| 6 |
0,896 |
| 7 |
2,865 |
| 8 |
1,970 |
| 9 |
0,871 |
| 10 |
1,604 |
| 11 |
1,820 |
| 12 |
0,990 |
| 13 |
2,865 |
| 14 |
1,990 |
| 15 |
0,954 |
| 16 |
2,944 |
| 17 |
1,000 |
| 18 |
0,981 |
| 19 |
1,595 |
| 20 |
1,820 |
| 21 |
0,990 |
| 22 |
3,984 |
| 23 |
0,985 |
| 24 |
0,896 |
Вычислим основные выборочные характеристики (табл. 5) и дополнительные статистики (табл. 6).
Таблица 5
Описательная статистика
| Перем |
Р-р |
Диапазон |
Среднее |
Ошибка |
Дисперс |
Ст.откл |
Сумма |
| x1 |
24 |
0,871 — 3,985 |
1,787 |
0,2181 |
1,141 |
1,068 |
42,89 |
Таблица 6
Дополнительная статистика
| Переменная |
Медиана |
Квартили |
ДовИнтСр. |
ДовИнтДисп |
Ош.СтОткл |
| x1 |
1,300 |
0,982; 2,646 |
0,4457 |
0,6895 — 2,246 |
0,4091 |
Вывод: Данная выборка характеризуется средним значением частоты встречаемости микроядер 1,787 ‰ при стандартном отклонении 1,068 ‰. Следует отметить, что среднее (1,787 ‰) и медиана (1,300 ‰), а также межквартильные интервалы (0,871 — 0,982; 0,982 — 1,787; 1,787 — 2,646; 2,646 — 3,985) существенно отличаются по величинам абсолютных значений.
Задание.
- Повторите теоретический материал по теме «Основные характеристики варьирующих объектов».
- Действуя по алгоритму, описанному в приведенных выше примерах, рассчитайте средние величины и показатели вариации для роста, веса, возраста, количества опозданий на занятия за неделю или каких-либо других количественных характеристик студентов вашей группы (желательно, чтобы группа была не менее 15 человек).
- Оформите работу в тетради. Сделайте вывод.
- Если у вас есть собственные экспериментальные данные, рассчитайте для них основные характеристики варьирующих объектов. Выберите наиболее информативные из них. Обоснуйте свой выбор.
Ссылка на первоисточник:
http://www.omskri.ru
