Автор статьи
Валерия
Эксперт по сдаче вступительных испытаний в ВУЗах
Написать программу интерполяции таблично заданной функции с помощью полиномов Ньютона или Лагранжа.
Входные данные: • исходная сетка узлов интерполяции; • значения интерполируемой функции; • новая сетка узлов, на которой необходимо вычислить значения функции; • порядок полинома. Выходные данные: • новая сетка; • значения полинома на новой сетке; • погрешность интерполирования. y=e^(x^2 ),x∈[-1,1],h=0.1;x_j=-1+j h/3,j=0,…,40.1.2 Теоретический материал
Под приближением функции f(x), заданной на интервале [a,b], будем понимать замену f(x) некоторой другой функцией P(x), близкой к исходной функции f(x). Формула Ньютона Пусть для функции f(x)=y заданы значения yi=f(xi) в равноотстоящих узлах xi = x0 + ih , i=0,1,…,n ; h-шаг интерполяции . Требуется подобрать полином , Pn (x) , степени не выше n , принимающий в узлах xi значения Pn(xi)= yi , (i=0,1,…,n) . Будем искать полином в виде Pn (x)= a0 + a1 (x- x0) + a2 (x- x0)(x- x1)+ a3 (x- x0)(x- x1)(x- x2)+…+ an (x- x0)(x- x1)…(x- xn-1) . Введём обобщённую степень (x- x0)=(x- x0)[1]; (x- x0)(x- x1)=(x- x0)[2] ; (x- x0)(x- x1)… (x- xn-1)=(x- x0)[n] . Тогда Pn (x)= a0 + a1 (x- x0) + a2 (x- x0)(x- x1)+ a3 (x- x0)(x- x1)(x- x2)+…+ an (x- x0)(x- x1)…(x- xn-1) примет вид Pn (x)= a0 + a1(x- x0)[1] + a2(x- x0)[2]+ (x- x0)[3]+…+ an(x- x0)[n]. Наша задача найти коэффициенты ai (i=0,1,…,n) полинома Pn (x). Полагая в Pn (x)= a0 + a1(x- x0)[1] + a2(x- x0)[2]+ (x- x0)[3]+…+ an(x- x0)[n] x= x0 , получим a0 = Pn (x0)= y0 =f(x0) т.е. a0 = y0 . Формула Лагранжа Пусть на отрезке [a,b] дана сетка {xi} аргумента a= x0 < x1 < x2 <…< xn =b и f(xi)= yi . Требуется построить полином Ln (x) степени не выше n такой, чтобы в узлах Ln (xi) = yi , i=0,…,n. Рассмотрим вспомогательную задачу : необходимо построить полином pi(x) такой , что pi(xj) = ij = 1, i=j, ij Этот полином представим в следующей форме pi(x)=C(x- x0)(x- x1)…(x- xi-1)(x- xi+1)…(x- xn) .1.3 Алгоритм решения
Найдем исходную сетку узлов интерполяции (рис. 1). Рисунок 1
Для расчета использовали следующие формулы (рис. 2)
Рисунок 2
1.4 Результат работы программы
Напишем программу PascalABC.Net (приложение А) отделения корней их уточнение методом дихотомии, в результате получаем (рис. 3). Рисунок 32 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
2.1 Задание
Написать программу вычисления первой и второй производной табличной функции с помощью полинома Ньютона или Лагранжа. Входные данные: • исходная сетка узлов функции; • значения дифференцируемой функции; • новая сетка узлов, на которой необходимо вычислить значения производных функции; • порядок полинома. Выходные данные: • новая сетка; • значения производных полинома на новой сетке; • погрешность дифференцирования.2.2 Теоретический материал
Формулы численного дифференцирования получаются путем дифференцирования интерполяционных формул. Наиболее широкое распространение получили формулы Ньютона и Лагранжа.2.3 Результат работы программы
Напишем программу PascalABC.Net (приложение Б) решения системы линейных уравнений с помощью метода Гаусса, в результате получаем (рис. 4). Рисунок 43 ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3.1 Задание
1. Написать программу вычисления интеграла по одной из квадратурных формул: трапеции, Симпсона или прямоугольников с автоматическим выбором шага интегрирования. Входные данные: • начальное количество узлов n0; • сетка узлов (или шаг сетки и границы интервала); • значения функции либо аналитическая функция; • относительная точность. Выходные данные: • значение интеграла; • конечное количество узлов; • точность интегрирования.2. Написать программу вычисления интеграла по формуле Гаусса.
Входные данные: • порядок формулы; • границы интервала; • подынтегральная функция; • относительная точность. Выходные данные: • значение интеграла; • точность интегрирования. ∫_0^1▒〖(x^3 dx)/√(x^2+1),n=4〗3.2 Теоретический материал
Формулы численного интегрирования в общем случае получаются путем интегрирования интерполяционных полиномов, построенных для подынтегральной функции.3.3 Результат работы программы
Напишем программу PascalABC.Net (приложение В) вычисления интеграла по формуле трапеции, в результате получаем (рис. 5) и вычисления интеграла по формуле Гаусса (приложение Г, рис. 6) Рисунок 5 Рисунок 6ВЫВОДЫ
При выполнении данной работы были получены и усовершенствованы знания по работе в Pascal. Благодаря данным программам значительно сокращается время выполнения довольно объемных задач.
О сайте
Ссылка на первоисточник:
https://academygps.ru
Поделитесь в соцсетях: