Автор статьи
Валерия
Эксперт по сдаче вступительных испытаний в ВУЗах
- Задание.
и так далее. Итерационные процессы, записанные выше сходятся, если норма матрицы А (А − матрица коэффициентов при неизвестных в правой части систем) удовлетворяет условию: ||A||<1.
3. Текст программы. Текст файла исходных данных.
4. Результаты вычислений.
Таблица 1-Вычисляем корни системы, вектор х с разной погрешностью
5. Анализ погрешности, полученной при проверке.
Метод Зейделя представляет собой модификацию метода простой итераций.
Имеем СЛАУ: A x =b (1)
Предполагая, что aii ≠ 0 разрешим новое уравнение системы (1) относительно x1, второе – относительно x2,…, n-ое уравнение – относительно xn. В результате получим:
x1=β1 — α12x2 — α13x3 — … — α1nxn
x2=β2 — α21x1 — α23x3 — … — α2nxn
xn=βn — αn1xn — αn3x3 — … — αnn-1xn-1
где βi=bi/aii; αij=aij/aii при i ≠ j; αii=0
Известно начальное приближение: x0=(x01, x02, …, x0n).
Основная идея заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной xi учитываются уже вычисленные ранее (k+1) — приближение неизвестных x1, x2, …, xn.
Итерационная схема имеет вид:
xk+11=β1 — ∑α1jxkj
xk+12=β2 — α21xk+11 — ∑α2jxkj
xk+1i=βi — ∑αijxk+11 — ∑α2jxkj
Прежде чем применять метод, необходимо переставить строки исходной системы таким образом, чтобы на диагонали стояли наибольшие по модулю коэффициенты матрицы.
Приведем к виду:
x1=0.2673-0.14x2-0.016x3+0.012x4+0.25x5
x2=0.3629+0.0417x1-0.19x3+0.0125x4-0.27x5
x3=-3.8462-0.37x1-0.35x2-0.63x4-0.64x5
x4=1+0.14x1-0.14x3+0.57x5
x5=0.1543-0.29x1+0.14x2-0.29x3+0.49x4
Покажем вычисления на примере нескольких итераций.
N=1
x1=0.2673 — 0 • (-0.142) — 0 • (-0.016) — 0 • 0.012 — 0 • 0.2467=0.2673
x2=0.3629 — 0.2673 • 0.0417 — 0 • (-0.1875) — 0 • 0.0125 — 0 • (-0.2667)=0.3518
x3=-3.8462 — 0.2673 • (-0.3718) — 0.3518 • (-0.3462) — 0 • (-0.6282) — 0 • (-0.641)=-3.625
x4=1 — 0.2673 • 0.1429 — 0.3518 • 0 — (-3.625) • (-0.1429) — 0 • 0.5714=0.444
x5=0.1543 — 0.2673 • (-0.2857) — 0.3518 • 0.1429 — (-3.625) • (-0.2857) — 0.444 • 0.4857=-1.0709
N=2
x1=0.2673 — 0.3518 • (-0.142) — (-3.625) • (-0.016) — 0.444 • 0.012 — (-1.0709) • 0.2467=0.5181
x2=0.3629 — 0.5181 • 0.0417 — (-3.625) • (-0.1875) — 0.444 • 0.0125 — (-1.0709) • (-0.2667)=-0.6295
x3=-3.8462 — 0.5181 • (-0.3718) — (-0.6295) • (-0.3462) — 0.444 • (-0.6282) — (-1.0709) • (-0.641)=-4.279
x4=1 — 0.5181 • 0.1429 — (-0.6295) • 0 — (-4.279) • (-0.1429) — (-1.0709) • 0.5714=0.9267
x5=0.1543 — 0.5181 • (-0.2857) — (-0.6295) • 0.1429 — (-4.279) • (-0.2857) — 0.9267 • 0.4857=-1.2804
N=3
x1=0.2673 — (-0.6295) • (-0.142) — (-4.279) • (-0.016) — 0.9267 • 0.012 — (-1.2804) • 0.2467=0.4142
x2=0.3629 — 0.4142 • 0.0417 — (-4.279) • (-0.1875) — 0.9267 • 0.0125 — (-1.2804) • (-0.2667)=-0.8097
x3=-3.8462 — 0.4142 • (-0.3718) — (-0.8097) • (-0.3462) — 0.9267 • (-0.6282) — (-1.2804) • (-0.641)=-4.2111
x4=1 — 0.4142 • 0.1429 — (-0.8097) • 0 — (-4.2111) • (-0.1429) — (-1.2804) • 0.5714=1.0709
x5=0.1543 — 0.4142 • (-0.2857) — (-0.8097) • 0.1429 — (-4.2111) • (-0.2857) — 1.0709 • 0.4857=-1.335
Остальные расчеты сведем в таблицу.
6. Выводы.
На 7-8 шаге значение погрешности становится малым и значения корней системы одинаковым со значениями предыдущего шага.
О сайте
Ссылка на первоисточник:
единыйурок.рф
Поделитесь в соцсетях: