Эксперт по сдаче вступительных испытаний в ВУЗах
Практическое занятие 15 2 семестр
Кольца. Области целостности. Поля
1. Доказать, что если F – поле, то уравнение ax = b имеет в поле единственное решение.
2. Элемент а кольца R называется делителем нуля, если в кольце R существует такой элемент b, что ab = 0. Доказать или опровергнуть, что сумма двух элементов, каждый из которых не является делителем нуля, не будет делителем нуля.
3. Доказать или опровергнуть, что в кольце R произведение двух элементов, каждый из которых не является делителем нуля, не будет делителем нуля.
4. Что представляют собой делители нуля в Z10 ?
5. Что представляют собой делители нуля в Z7 ?
6. Доказать теорему: Пусть R – коммутативное кольцо с единицей. Кольцо R является областью целостности тогда и только тогда, когда из того, что ab = ac, следует, что b = c для всех b, c и ненулевых а из R.
7. Пусть М – кольцо (22) – матриц вида ..
Доказать, что подмножество всех матриц вида является идеалом кольца М.
8. Доказать, что сумма идеалов I и J коммутативного кольца R, определенного соотношением I + J = {i + j i I и j J}, является идеалом кольца R.
9. Пусть А = 14 и В = 16 . Найти A B и A + B.
10. Опишите наименьший идеал целых чисел, содержащих числа 6, 9 и 12.
11. Доказать, что если I — идеал кольца R и -1 I , то I = R .
12. Пусть f : R R’ — гомоморфизм колец. Доказать, что f(R) – кольцо.
13. Пусть f : R R’ — гомоморфизм колец. Доказать, что если R — поле, f(R) – поле.
14. Пусть f : R R’ — гомоморфизм колец. Если R – область целостности, то является ли областью целостности f(R) .
15. Пусть f : R R’ — гомоморфизм колец. Доказать, что {x R f(x) = 0} – идеал кольца R.
16. Доказать или опровергнуть, что делители коммутативного кольца R образуют идеал кольца R .
17. Образует ли множество полиномов с целыми коэффициентами область целостности ?
Ссылка на первоисточник:
https://urgaps.ru
