Решение уравнения Лапласа

9. Решение уравнения Лапласа. Разностная схема для уравнения второго порядка. Примеры для расчета Уравнение Лапласа используется при изучении процессов тяготения, установившегося теплового состояния в однородном изотропном теле, установившиеся потенциальные течения жидкости, стационарного электрического и магнитного полей. 9.1 Разностная схема для уравнений второго порядка Пусть имеем дифференциальное уравнение в операторной форме , (9.1.1) где — дифференциальный оператор, действующий на искомую функцию , — правая часть уравнения (9.1.1). Рассмотрим решение задачи Дирихле для эллиптического типа — уравнение Лапласа (9.1.2) и граничное условие . Для аппроксимации вторых производных, входящих в оператор Лапласа, используем пяти точечный шаблон и пусть шаги разностной сетки по направлениям и равны и . Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки ( , ), тогда: , . Попарно складывая между собой каждое из этих выражений можно получить , или , , получаем аппроксимации вторых производных со вторым порядком точности. Если ввести общепринятые индексные сокращения для сеточных функций в узлах расчетной сетки: , , и т.д., то , (9.1.3) . Таким образом, разностный оператор , (9.1.4) на пяти точечном шаблоне аппроксимирует оператор Лапласа со вторым порядком точности. 9.2. Решение уравнения Лапласа Рассмотрим решение уравнения в частных производных функции двух переменных эллиптического типа. Используя метод сеток составим приближенное решение задачи Дирехле для уравнения Лапласа в квадрате с вершинами , , , с граничными условиями , , , . Пример. Пусть искомая функции на сторонах квадрата определяется формулами , , , . Область интегрирования разобьем сеткой с постоянным шагом . При решении задачи использовать итерационный процесс округления Либмана до получения ответа с точностью до . 1. Построим область решения, покроем ее сеткой с шагом ; вычислим значения искомой функции в граничных точках области (рис.1): a) значения функции на стороне найдем по формуле имеем , , , , , ; b) на стороне , , , , , ; c) на стороне ; d) на стороне , ; Уравнение Лапласа (9.1.2) заменим конечно-разностным выражением учитывая, что , получим Используя эту формулу, составим уравнения для каждой внутренней точки. Предварительно пронумеруем искомые значения функции в сеточной области, рис. 9.1, там же укажем граничные значения. y B(0;1 5 10 15 20 C(1;1) 7,2 U13 U14 U15 U16 25 10,8 U9 U10 U11 U12 25 10,8 U5 U6 U7 U8 25 7,2 U1 U2 U3 U4 25 A(0;0) 1,545 5,878 12,135 19,021 D(1;0) x Рис. 9.1 В результате получаем систему уравнений 16 уравнений и 16 неизвестных. Решение системы выполним итериционным способом типа Зейделя. Для каждого значения составим последовательность , которую строим до точности в сотых долях. Запишем соотношения, с помощью которых будем находить элементы всех последовательностей: Для вычислений по этим формулам нужно определить начальные значения . 9.3. Чтобы получить начальное приближенное решение задачи, будем считать, что функция по горизонталям области распределена равномерно. Рассмотрим горизонталь с граничными точками и . Так как отрезок разбит на 5 частей, то шаг изменения функции . Тогда получаем Аналогично найдем значения функции во внутренних точках других горизонталей. Для горизонтали с граничными точками и имеем Значения в граничных точках третьей горизонтали такие же, что и у второй, поэтому Значения в граничных точках четвертой горизонтали те же, что и для первой горизонтали, поэтому Все полученные значения представим в следующей таблице, которая называется нулевым шаблоном: 1 0 5 10 15 20 25 0,8 7,2 10,76 14,32 17,88 21,44 25 0,6 10,8 13,64 16,48 19,32 22,16 25 0,4 10,8 13,64 16,48 19,32 22,16 25 0,2 7,2 10,76 14,32 17,88 21,44 25 0 0 1,545 5,878 12,135 19,02 25 / 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Для каждого нового приближенного решения по методу Зейделя будем составлять таблицу, содержащую только внутренние значения, которые изменяются в процессе итераций. В результате получим последовательность шаблонов 9,176 13,258 17,027 20,904 12,524 15,363 18,411 21,589 12,524 15,170 18,241 21,506 9,176 12,354 16,312 20,623 9,346 12,708 16,561 20,679 11,927 14,460 17,630 21,153 11,754 14,243 17,443 21,079 8,406 11,442 15,610 20,384 9,092 12,371 16,287 20,544 11,461 13,829 17,100 20,887 11,239 13,518 16,856 20,771 7,985 10,929 15,189 20,074 8,930 12,158 16,116 20,458 11,150 13,414 16,761 20,718 10,877 13,036 16,454 20,567 7,728 10,581 14,911 19,926 8,826 12,021 16,005 20,403 10,945 13,144 16,542 20,608 10,634 12,712 16,189 20,433 7,551 10,344 14,715 19,826 8,768 11,993 15,934 20,368 10,811 12,968 16,399 20,537 10,472 12,497 16,014 20,345 7,431 10,184 14,583 19,759 8,714 11,875 15,887 20,344 10,723 12,853 16,306 20,490 10,365 12,365 15,899 20,288 7,350 10,077 14,496 19,716 8,685 11,837 15,851 20,327 10,665 12,777 16,221 20,457 10,294 12,263 15,875 20,263 7,297 10,007 14,439 19,687 8,666 11,811 15,835 20,319 10,628 12,725 16,203 20,439 10,248 12,215 15,778 20,228 7,262 9,960 14,414 19,675 8,654 11,796 15,823 20,313 10,603 12,695 16,178 20,427 10,220 12,165 15,744 20,210 7,238 9,936 14,381 19,658 8,646 11,786 15,815 20,308 10,587 12,674 16,162 20,418 10,198 12,137 15,722 20,199 7,225 9,912 14,362 19,648 8,640 11,779 15,809 20,306 10,576 12,661 16,150 20,413 10,184 12,120 15,708 20,192 7,214 9,898 14,351 19,643 8,637 11,774 15,806 20,304 10,569 12,652 16,143 20,409 10,176 12,108 15,699 20,188 7,207 9,889 14,344 19,639 8,635 11,772 15,803 20,303 10,565 12,646 16,138 20,407 10,170 12,101 15,693 20,185 7,202 9,883 14,339 19,637 8,634 11,770 15,802 20,302 10,562 12,642 16,135 20,405 10,167 12,096 15,689 20,183 7,200 9,879 14,336 19,636 Шаблоны и содержат значения, отличающиеся друг от друга меньше чем 0,01 (заданная точность); поэтому вычисления прекращаются и последние значения округляются до 0,01 и получаем ответ: 1 0 5 10 15 20 25 0,8 7,2 8,63 11,77 15,80 20,30 25 0,6 10,8 10,56 12,64 16,14 20,41 25 0,4 10,8 10,17 12,10 15,69 20,18 25 0,2 7,2 7,20 9,88 14,34 19,64 25 0 0 1,55 5,88 12,14 19,02 25 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Рис. 9.1. Решение уравнения Лапласа 9.4. Задание на расчеты Используя метод сеток, составить приближенное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в квадрате с вершинами Шаг . При решении задачи использовать итерационный процесс усреднения Либмана до получения ответа с точностью до 0,01. В таблице вариантов приведены формулы, задающие искомую функцию на сторонах квадрата . Номер варианта 1 2 3 4 5 6 Номер варианта 7 8 9 10 11 12 Номер варианта 13 14 15 16 17 18 Номер варианта 19 20 21 22 23 24 Номер варианта 24 26 27 28 29 30