Эксперт по сдаче вступительных испытаний в ВУЗах
Задание №1: Сформировать векторно-матричную модель системы (определить матрицы А, В, С, D). Система 2-го порядка задана структурной схемой (11 вариантов). Порядок всех схем – одинаков, равен n=2. Тип системы — SISO. Переменные состояния (см. раздел 11 конспекта лекций: Федосенков Б.А., Шебуков А.В. Теория автоматического управления. Линейные системы. — 2006 г.) обозначены через xI; I — номер переменной состояния. Через ni обозначен порядок i-го звена системы; номер звена i изменяется от 1 до 3. Звенья, имеющие 1-й порядок, — апериодические; имеющие 2-й порядок, — также апериодические; имеющие 0-й порядок, — идеальные усилители (апериодические 0-го порядка) — см. соответственно разделы 8.3, 8.4 и 8.2 из конспекта лекций: Федосенков Б.А., Шебуков А.В. Теория автоматического управления. Линейные системы. — 2006 г.
Варианты структурных схем системы:
Вариант №1:
n1=1 n2=1
u(t) y(t) k1=2; k2=5; T1=1; T2=2
x2 x1
Вариант №2:
x1
u(t) y(t) k1=1; k2=2; T1=2; T2=1
Вариант №3:
u(t) y(t)
x1 k1=5; k2=10; T1=2; T2=3
x2
Вариант №4:
u(t) x1 y(t) k=5; T1=2; T2=4
Вариант №5:
u(t) y(t) k=5; T1=2; T2=4
x1
Вариант №6:
u(t) y(t)
k=5; T1=2; T2=4
x1
Вариант №7:
u(t) y(t)
k1=5; k2=10; T1=2; T2=5
Вариант №8:
x1
u(t) y(t) k1=5; k2=10; T1=2; T2=5
Вариант №9: x1
u(t) y(t)
— k1=1; k2=2; T1=5; T2=10
Вариант №10: x1
u(t) y(t) k1=5; k2=10; T1=2; T2= 4
—
Вариант №11: x1
u(t) y(t) k1=2; k2=3; k3=5; T1=1; T2=2
— y(t)
В качестве образца решения задания выполним расчет схемы модели системы управления (см. пример 11.1, стр. 96 из конспекта лекций: Федосенков Б.А., Шебуков А.В. Теория автоматического управления. Линейные системы. — 2006 г. — 155 стр.):
Параметры: Задана структурная схема системы (Вариант №1).
x = Ax + Bu; y = Cx + Du (см. стр. 94, формула (11.2).
где x = A * x + B * u — уравнение состояния;
[2×1] [2×2] [2×1] [2×1] [1×1] — размерности матриц.
y = C * x — уравнение выхода; При этом матрица D=0.
A,B,C,D-? [1×1], [1×2], [2×1] — размерности сигнала y, матрицы C и вектора x.
Пояснения:
сначала записываем передаточные функции (ПФ) в операторной форме для каждого из 2-х звеньев, причем каждую ПФ выражаем в двух форматах: 1) в виде записи через параметры звена и 2) в виде отношения скалярных сигналов на выходе и входе звена соответственно, выраженных через сигналы в составе векторно-матричной модели.
Далее, из пропорций для каждого звена находим два скалярных дифференциальных уравнения в форме Коши, из которых в конечном счете определяем искомые матрицы:
A = ; B = ; C = ; D = 0.
Подставив числовые значения коэффициентов передачи k1, k2 и постоянных времени T1, T2 звеньев системы, в итоге получим искомые матрицы в числовом виде.
Таким образом, найдены матрицы: А — состояния; В — управления; С — выхода по состоянию; В — выхода по управлению (см. стр. 95 из конспекта лекций: Федосенков Б.А., Шебуков А.В. Теория автоматического управления. Линейные системы. — 2006 г. — 155 стр.).
Задание №2:
Определить аналитически передаточную функцию W(s) системы по ее заданной векторно-матричной модели (ВММ) — обратная задача. В качестве исходной (заданной) векторно-матричной модели считать ВММ, найденную (рассчитанную) для соответствующею варианта в задании №1. Система — типа SISO.
Замечание: обращать внимание на размерности скаляров, векторов и матриц.
В качестве примера выполним решение задачи при следующих исходных данных:
A = ; B = ; C = ; D = 0. W(s) = ?
Решение:
Запишем в общем виде ВММ системы:
x = Ax + Bu;
y = Cx.
Тогда при нулевых начальных условиях, используя теорему дифференцирования оригинала (см. стр. 30 из конспекта лекций: Федосенков Б.А., Шебуков А.В. Теория автоматического управления. Линейные системы. — 2006 г. — 155 стр.), получим:
S*x(S) — Ax(S) = Bu(S);
(SI-A)*x(S) = Bu(S), где I — единичная матрица.
Отсюда: x(S)=
Так как уравнение выхода: y(S) = C*x(S),
то имеем: y(S) = C* *BU(S).
Отсюда: W(S) = y(S)/U(S) = C* *B(S).
Данное выражение требует определения обратной матрицы (здесь матрица (sI — A) — характеристическая матрица системы), то есть
= ?
Итак, исходная матрица имеет вид: (SI — A) = = .
1). Тогда транспонированная матрица: .
2). Находим алгебраические дополнения для транспонированной матрицы:
; ; ; .
3). Определяем союзную (присоединенную) матрицу относительно исходной: Adj (SI — A) = .
4). Рассчитываем определитель det (SI — A) = ( =(S+1/ )(S+1/ ( ) ( ) = .
5). Окончательно рассчитываем обратную матрицу как отношение союзной матрицы к определителю исходной матрицы:
= здесь требуется первую матрицу размерности (2×2) умножить на скалярную функцию переменной Лапласа s, то есть на матрицу размерности (1×1).
* В итоге получаем ПФ системы в виде скалярной функции в результате последовательного перемножения трех матриц: матрицы выхода C, обратной характеристической матрицы (sI — A)-1 и матрицы управления B:
W(S) = C* (sI — A)-1 * B,
Таким образом: W(S) = , что и требовалось доказать, поскольку ПФ системы, состоящей из двух последовательно соединенных апериодических звеньев 1-го порядка (см. стр. 49 из конспекта лекций: Федосенков Б.А., Шебуков А.В. Теория автоматического управления. Линейные системы. — 2006 г. — 155 стр.), равна именно
W(S) = = .
Замечание: операции, указанные в абзаце, помеченном знаком *, выполнить самостоятельно в соответствии с правилами перемножения матриц.
