Эксперт по сдаче вступительных испытаний в ВУЗах
Контрольная работа
по теме «Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей. Многогранники»
Вариант №1
1. Основание АD трапеции АВСD лежит в плоскости . Через точки В и С
проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках Е и F соответственно: а) Каково взаимное расположение прямых ЕF и АВ?
б) Чему равен угол между прямыми ЕF и АВ, если ? Ответ обоснуйте.
2. Дан пространственный четырёхугольник АВСD, в котором диагонали АС и ВD равны. Середины сторон этого четырёхугольника соединены последовательно отрезками: а) Выполните рисунок к задаче.
б) Докажите, что полученный четырёхугольник – ромб.
3. Прямые a и b лежат в параллельных плоскостях и . Могут ли эти прямые быть параллельными; скрещивающимися? Сделайте рисунок для каждого возможного случая.
4. Через точку О, лежащую между параллельными плоскостями и , проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскости и в точках A1 и A2 соответственно, прямая m – в точках В1 и В2. Найдите длину отрезка A2В2, если
5. Диагональ куба равна 6см. Найдите: а) Ребро куба.
б) Косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.
6. Сторона АВ ромба АВСD равна р, а один из углов ромба равен . Через
сторону АВ проведена плоскость на расстоянии р/2 от точки D.
а) Найдите расстояние от точки С до плоскости .
б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла DАВМ, .
в) Найдите синус угла между плоскостью ромба и плоскостью .
7. Основанием пирамиды DАВС является правильный треугольник АВС, сторона которого равна р. Ребро DА перпендикулярно к плоскости АВС, а плоскость DВС составляет с плоскостью АВС угол . Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности пирамиды.
8. Основанием прямого параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 является ромб АВСD сторона которого равна р и угол равен . Плоскость АD1С1 составляет с плоскостью основания угол . Найдите: а) Высоту ромба.
б) Высоту параллелепипеда.
в) Площадь боковой поверхности параллелепипеда.
г) Площадь поверхности параллелепипеда.
Вариант №2
1. Треугольники АВС и АDС лежат в разных плоскостях и имеют общую
сторону АС. Точка Р – середина стороны АD, точка К – середина DС.
а) Каково взаимное расположение прямых РК и АВ?
б) Чему равен угол между прямыми РК и АВ, если и ? Ответ обоснуйте.
2. Дан пространственный четырёхугольник АВСD, М и N середины сторон АВ и ВС соответственно,
а) Выполните рисунок к задаче.
б) Докажите, что полученный четырёхугольник МNЕК – трапеция.
3. Прямые a и b лежат в пересекающихся плоскостях и . Могут ли эти прямые быть параллельными; скрещивающимися? Сделайте рисунок для каждого возможного случая.
4. Через точку О, не лежащую между параллельными плоскостями и , проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскости и в точках A1 и A2 соответственно, прямая m – в точках В1 и В2. Найдите длину отрезка A1В1, если
5. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат, диагональ параллелепипеда равна , а его измерения относятся как 1:1:2. Найдите:
а) Измерения параллелепипеда.
б) Синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.
6. Сторона квадрата АВСD равна р. Через сторону АD проведена плоскость
на расстоянии р/2 от точки В.
а) Найдите расстояние от точки С до плоскости .
б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла ВАDМ, .
в) Найдите угол между плоскостью квадрата и плоскостью .
7. Основанием пирамиды МАВСD является квадрат АВСD. Ребро МD перпендикулярно к плоскости основания, АD = DМ = р. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности пирамиды.
8. Основанием прямого параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 является параллелограмм АВСD, стороны которого равна р и 2р, острый угол равен . Высота параллелепипеда равна меньшей высоте параллелограмма. Найдите:
а) Меньшую высоту параллелограмма.
б) Угол между плоскостью АВС1 и плоскостью основания.
в) Площадь боковой поверхности параллелепипеда.
г) Площадь поверхности параллелепипеда.
Ссылка на первоисточник:
http://ivanovo.ac.ru
