Эпюр № 2

Тема  «Способы преобразования ортогональных проекций»

     Содержание эпюра.  На основании исходных данных к эпюру методом замены плоскостей проекций построить горизонтальную и фронтальную проекции требуемого многогранника.

     Методические указания. Эпюр выполняется на формате А3 (297 * 420) мм в масштабе 1:1. Образец выполнения эпюра приведен на рис.4. Данные для эпюра взять из индивидуальных заданий к эпюру № 2 в соответствии с вариантом.

Решение задачи следует начинать с наглядного изображения многогранника. Рассмотрим пример, в котором требуется построить тетраэдр SABC,  у которого задана точка A, а ребро BC  принадлежит заданной прямой  EF.

     На рис. 3 изображен тетраэдр, на котором показаны заданные геометрические элементы – точка A и прямая EF. Точка  и прямая  определяют плоскость основания тетраэдра a (A,EF).

                      Рис. 3.

Из геометрических соображений   ( AD^ EF, ?BAD = ?DAC = 30o ) легко построить основание тетраэдра ABC, которое является равносторонним треугольником.

     Для определения вершины S рассмотрим плоскость медианального се-чения b, из которой видно, что вершина может быть найдена как точка пересечения  высоты  тетраэдра   SО  и  отрезка  прямой, проведенной из т. A,

равного стороне основания (все ребра тетраэдра равны).

     Из приведенных выше рассуждений алгоритм решения задачи следую-щий (см. рис.4):

1. Определяем натуральную величину плоскости a (A,EF) и строим основание тетраэдра. Для этого используем способ замены плоскостей проекций. Заменим плоскость p2 на плоскость p4 (p4^p1U^a (A,EF)), при этом ось Х14 h1, а затем p1 на  p5 (p5^p4U||a (A,EF)), при этом ось Х45 ||  4.

     После этого строим основание тетраэдра – равносторонний треугольник А5В5С5.

     Для нахождения новых проекций точек проводятся новые линии связи перпендикулярно к  новым осям. На  их продолжении от новых осей откла-

дываются отрезки, равные расстояниям от заменяемых проекций точек до старых осей. Конечная точка отрезка является искомой проекцией точки в новой плоскости проекций.

     Например:   | Х14 А4 | = | Х12 А2 |;    | Х45 А5 | = | Х14 А1 |.

2. Строим плоскость медианального сечения b, и находим проекцию вершины тетраэдра точку S5 . Затем проведем еще одну замену плоскостей проекций. Плоскость p4 заменим на плоскость  p6 (p6^p5U||b). В новой плоскости строим проекции основания тетраэдра и его вершины S6. Для чего из точки B6  на линии связи S5S6 делаем засечку радиусом, равным натуральной величине ребра тетраэдра.

     Главными действующими лицами, показывающими положение дополнительных плоскостей на эпюре, являются оси Х14, Х45, Х56. Их расположение приведено в алгоритме и в построениях, представленных в примере (рис.4).

     Найдя  проекции  точек  всех  вершин тетраэдра в плоскостях  проекций

p5  и p6,  обратными построениями находим проекции этих точек в исходных плоскостях p1 и p2.

     Видимость определить методом конкурирующих точек. В рассмотренном примере эти точки не показаны.

Индивидуальные задания к эпюру № 2

1. Д а н о : точки  А (28, 85, 45), В (80, 30, 64), С (10, 50, 12).

Построить пирамиду   SABC,   основанием   которой   является  треугольник  АВС, |SA| = 80 мм, |SB| = 65 мм.  Двухгранный угол при ребре АВ равен 60о.

2. Д а н о : точки А ( 80, 25, 65 ),   В ( 40, 5, 10 ),   С ( 20, 55, 40 ),  прямая DE (D (140, 30, 60), E (90, 45, 30)).

Построить пирамиду SAВC, основанием которой является треугольник АВС. Вершина S пирамиды принадлежит прямой  DE и равноудалена от точек А и В.

3. Д а н о : прямая DЕ ( D (85, 5, 35), Е (45, 60, 5)), точка А (15, 25, 65),горизонтальная проекция точки S (100, 60, Z).

Построить пирамиду SABC , основанием которой  является  равнобедренный  треугольник  АВС,  (|АВ| = |АС|), сторона ВС которого принадлежит прямой DE и равна  50  мм.  Высота   пирамиды  равна 80 мм.

4. Д а н о : прямая FE (F (85, 5, 35), Е (30, 70, 15 )), точка А (15, 25, 65 ).

Построить прямую призму, основанием которой является равнобедренный треугольник  АВС  (|АВ| = |АС|), сторона  ВС  которого принадлежит прямой FE и равна 50 мм. Высота призмы равна 80 мм.

5. Д а н о : прямая SD ( S ( 130, 5, 70), D ( 100, 45, 30 )).

Построить правильную трехгранную пирамиду SABC, высотой которой является отрезок SD. Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 30 мм. Вершина А основания пирамиды удалена от плоскости p1 на 15 мм.

6. Д а н о : отрезок SD ( S ( 30, 90, 75 ), D ( 95, 45, 50 )), горизонтальная проекция точки В ( 120, 65, Z ).

Построить правильную трехгранную пирамиду SABC, высотой которой является отрезок SD.

7. Д а н о : прямая АЕ ( А (105,90,75 ), Е ( 50,10,0 ), горизонтальная проекция точки С ( 35,110, Z ).

Построить куб АBCDA/B/C/D/ с диагональю основания АС и ребром А/А/, принадлежащим отрезку АЕ.

8. Д а н о : отрезок SD ( S ( 70,25,80 ), D ( 40,65,30 )).

Построить правильную трехгранную пирамиду SABC, высотой которой является отрезок SD. Вершина B удалена от плоскости p2 на 60 мм и принадлежит плоскости p1.

9. Д а н о : точки А ( 20,50, 35 ), В ( 40, 85, 65 ), С ( 90, 30, 85 ).

Построить   пирамиду   SABC,   у   которой   ребро    | SВ |  =  85 мм,   ребро | SС | = 70 мм и двухгранный угол при ВС равен 60о.

10. Д а н о : точки А ( 20,50, 35 ), В ( 40, 85, 65 ), С ( 90, 30, 85 ).

Построить пирамиду SABC, у которой ребро /SВ/ = 85 мм, ребро /SС/ = 70 мм и двухгранный угол при ВС равен 60о.

11. Д а н о : отрезок SD ( S ( 80, 5, 70), D ( 50, 45, 30 )).

Построить правильную трехгранную пирамиду SABC, высотой которой является отрезок  SD. Сторона основания равна 50 мм, а вершина А удалена от плоскости p2 на 50 мм.

12. Д а н о : точки А (120,50,30), В (100,10,70), С (70,60,10), прямая DЕ(D (50, 10,75), Е (10,55,35)).

Построить пирамиду SABC, вершина S которой принадлежит прямой DЕ и равноудалена от прямых АВ и АС.

13. Д а н о : прямаяNB (N (120,60,60), B (70,30,35)) и горизонтальная проекция точки D (20,60, Z).

Построить прямую призму АBCDA/B/C/D/, основание которой — квадрат АBCD  с  диагональю  BD.  Ребро  ВB/   принадлежит прямой  NB  и  равно  60 мм.

14. Д а н о : точкиА (120,60,20), В (150,40,40), С (90,10,50).

Построить пирамиду SABC, высота которой равна 90 мм, а вершина S равноудалена от точек А, В, С.

15. Д а н о : плоскостьd( А, С, F ),    координаты   точек   А ( 60,35,40  ), С (90,40,10), F (120,0,0).

Построить правильную четырехгранную призму, основание которой АBCD принадлежит  плоскости  d,  АС — диагональ основания. Высота  призмы – 80 мм.

16. Д а н о : плоскостьl( А, В, С  ),   координаты  точек  А  ( 120,25,35 ), В (50,90, 75), С (25,30,55), прямая DЕ (D (170,30,85), Е (100,90,60)), точка К (195,65,45).

Построить правильную четырехгранную пирамиду SKLMN, вершина S которой принадлежит плоскости l, а высота — прямой DЕ.

17. Д а н о : отрезок SD (S (30,90,75), D (95,45,50)), горизонтальная проекция точки В (120,65,Z).

Построить правильную четырехгранную пирамиду SАВСЕ, высотой которой является отрезок SD.

18. Д а н о : прямая EF ( Е ( 85,5,35 ), F ( 30,70,15)), точки А (15,25,65) и S (80,60, 90).

Построить пирамиду SАВС, основанием которой является равносторонний треугольник АВС (/АВ/=/АС/), сторона ВС которого принадлежит прямой EF и равна 50 мм.

19. Д а н о : точки А (30,85,30), В (80,30,20), С (10,50,10).

Построить пирамиду SАВС, основанием которой является треугольник АВС, /SВ/= 70 мм. Двухгранный угол при ребре ВС равен 60о.

20. Д а н о : точки А (110,60,40), В (60,90,20), С (50,50,60) и горизонтальная проекцияточки S (90,10,Z).

Построить пирамиду SАВС, основанием которой является треугольник АВС. Двухгранный угол при ребре АВ равен 70о.

21. Д а н о : прямая EF (Е (110,95,0), F (0,55,50)), точкаА (85,35,80).

Построить правильный тетраэдр SАВС, ребро ВС которого принадлежит прямой EF.

22. Д а н о : плоскость ? ( D,E,F ), координаты  точек  D   ( 120,80,70 ), E (40,60,50), F (70,20,100), фронтальная проекция прямой АВ, А (20,Y,50), B (50,Y,10).

Построить пирамиду SАВС, основанием которой является равносторонний треугольник АВС, принадлежащий плоскости ???Ребро SC перпендикулярно плоскости основания и равно 80 мм.

23. Д а н о : плоскость?(D,E,F), координаты точек D(100,50,50), E(60,80,70), F(80,90,100), фронтальные проекции точек A(60,Y,30), B(20,Y,70), C(10,Y,10).

Построить пирамиду SABC, основание которой ABC принадлежит плоскости ?. Вершина S равноудалена от точек A, B, C и принадлежит плоскости XOY.

24. Д а н о : отрезок SЕ ( S (70,25,80), Е (40,65,30 )).

Построить правильную четырехгранную пирамиду SABCD. Ее высотой является отрезок  SЕ. Вершина В удалена от плоскости p2 на 60 мм и принадлежит плоскости p1.

25. Д а н о :плоскость    ( D,E,F ),   координаты   точек  D ( 180,20,50 ), E ( 125,10,75 ),  F ( 140,50,10 ),  фронтальные  проекции  точек  S (90,Y,80 ), А (70,Y,20), В(40,Y,60), С(10,Y,5).

Построить пирамиду SАВС, основанием которой является треугольник АВС, принадлежащий плоскости ??Высота пирамиды равна 90 мм.

26. Д а н о : плоскость?(D,E,F), координаты точек D(220,130,30), E(180,30,110), F(140,55,80), фронтальные проекции точек A(100,Y,40), B(60,Y,80), C(30,Y,10).

Построить пирамиду SABC, основание ABC которой принадлежит плоскости . Вершина S равноудалена от точек A, B, C и отстоит от плоскости XOY на 100 мм.

27. Д а н о : отрезок SD ( S (140,70,60 ), D (70,50,30 )).

Построить правильную трехгранную пирамиду SABC, высотой которой является отрезок SD. Радиус писанной вокруг основания окружности равен 40 мм, а вершина А принадлежит плоскости p1.

28. Д а н о : прямые    МN   ( M  ( 90,30,10 ),   N  ( 30,80,80  ) ),    и  СС/(С (40,30,30), С/ (110,70,50)).

Построить призму АBCDA/B/C/D/ , основанием которой    является    квадрат    АBCD ,    а    диагональ   ВD    принадлежит прямой МN.