Эксперт по сдаче вступительных испытаний в ВУЗах
Задача 1.
9 моих друзей любят хот-дог, 8 – картофель «фри», а 7 – гамбургер, 5 – хот-дог и «фри», 3 – хот-дог и гамбургер, 4 – «фри» и гамбургер, 2 – хот-дог, гамбургер и «фри». Сколько у меня друзей?
Задача 2.
В списке на отдых лагеря «Артек»: 42 отличников, 28 победителей олимпиад и 30 спортсмена. 10 человек были и отличниками и победителями олимпиад, 5 — отличниками и спортсменами, 8 — спортсменами и победителями олимпиад, 3 — и отличники, и спортсмены, и победители олимпиад. Сколько ребят в списке на отдых в лагере?
Задача 3.
В международной компании работают менеджеры, которые знают несколько иностранных языков. 48 менеджеров знают английский, 26 — французский, 28 — немецкий. 8 менеджеров знают английский и немецкий, 8 — английский и французский, 13 — французский и немецкий. 24 менеджера говорят только на русском языке. Сколько менеджеров, знают одновременно три языка: английский, французский и немецкий?
Задача 4.
На олимпиаде по физике школьникам предложили решить три задачи: одну по оптике, одну по механике, одну по молекулярной физике. В олимпиаде участвовало 1000 школьников. Результаты олимпиады были следующие: задачу по оптике решили 800 участников, по механике — 700, по молекулярной физике — 600. 600 школьников решили задачи по оптики и механики, 500 — по оптики и молекулярной физики, 400 — по механики и молекулярной физики. 300 человек решили задачи по трём темам. Сколько школьников не решило ни одной задачи?
Задача 5.
На олимпиаде по физике школьникам предложили решить три задачи: одну по кинематике, одну по термодинамике, одну по оптике. Результаты олимпиады были следующие: задачу по кинематике решили 400 участников, по термодинамике — 350, по оптике — 300. 300 школьников решили задачи по кинематике и термодинамике, 200 — по кинематике и оптике, 150 — по термодинамике и оптике. 100 человек решили задачи по кинематике, термодинамике и оптике. Сколько школьников решило две задачи?
Задача 6.
Среди студентов-задолжников провели опрос. Был задан вопрос: «Какой предмет у Вас не сдан?». По результатам опроса выяснилось, что у 150 не сдана математика, у 130 – русский язык, у 50 — история. У 60 студентов есть задолженность по математике и русскому языку, у 20 – математика и история, у 30 – русский язык и история. У 70 человек не зачтён иностранный язык. У 10 человек есть нет зачёта по математике, по русскому языку, по истории. Сколько студентов приняли участие в опросе?
Задача 7
Первую или вторую контрольные работы по математике успешно написали 33 студента, первую или третью – 31 студент, вторую или третью – 32 студента. Не менее двух контрольных работ выполнили 20 студентов.
Сколько студентов успешно решили только одну контрольную работу?
Задача 8
В классе 35 учеников. Каждый из них пользуется хотя бы одним из видов городского транспорта: метро, автобусом и троллейбусом. Всеми тремя видами транспорта пользуются 6 учеников, метро и автобусом – 15 учеников, метро и троллейбусом – 13 учеников, троллейбусом и автобусом – 9 учеников. Сколько учеников пользуются только одним видом транспорта?
Задача 1.
9 моих друзей любят хот-дог, 8- картофель “фри”, а 7- гамбургер., 5- хот-дог и фри, 3- хот-дог и гамбургер, 4- фри и гамбургер, 2- хот-дог, гамбургер и фри. Сколько у меня друзей?
Решение
Введем обозначения
А- друзья которые любят хот- дог , n(A)=9;
B- друзья которые любят картофель фри , n(B)=8;
C- друзья которые любят гамбургер , n(C)=7;
A∩B- друзья которые любят хот- дог и фри , n(A∩B)=5;
A∩С- друзья которые любят хот- дог и гамбургер , n(A∩С)=3;
B∩C- друзья которые любят фри и гамбургер, n(B∩C)=4;
A∩B∩C друзья которые любят хот- дог, гамбургер и фри ,
n(A∩B∩С)=2;
n(A∪B∪C)=n(А)+n(В)+n(C)-n(A∩B)-n(A∩C)-n(B∩C)+n(A∩В∩C)
n(A∪B∪C)=9+8+7-5-3-4+2=14
Ответ: 14 друзей
Задача 2. В списке на отдых лагеря “Артек”:
42 отличников, 28 победителей олимпиад, 30 спортсмена. 10 человек были и отличниками и победителями олимпиад, 5- отличниками и спортсменами, 8- спортсменами и победителями олимпиад, 3- и отличники, и спортсмены , и победители олимпиад. Сколько ребят в списке на отдых в лагере.
Решение.
Введем обозначения
А- отличники, n(A)=42;
B- победители олимпиад, n(B)=28;
C- спортсмены , n(C)=30;
A∩B-отличники и победители олимпиад, n(A∩B)=10;
A∩С-отличники и спортсмены, n(A∩С)=5;
B∩C-победители олимпиад и спортсмены, n(B∩C)=8;
A∩B∩C-отличники,и спортсмены ,и победители олимпиад ,
n(A∩B∩С)=3;
В списке на отдых в лагере всего найдем по формуле
n(A∪B∪C)=n(a)+n(b)+n(C)-n(A∩B)-n(A∩C)-n(B∩C)+n(A∩b∩C)
n(A∪B∪C)=42+28+30-10-5-8+3=80
Ответ: 80 человек в списке на отдых в лагере.
Задача 4. В олимпиаде по физике школьникам предложили решить три задачи: одну по оптике, одну по механике, одну по молекулярной физике. В олимпиаде участвовало 1000 школьников. Результаты олимпиады были следующие: задачу по оптике решили 800 участников, по механике -700, по молекулярной физике -600. 600 школьников решили по оптике и механике, 500 – по оптике и молекулярной физике, 400 – по механике и молекулярной физике. 300 человек решили задачи по трем темам. Сколько школьников не решили ни одной задачи?
Решение
Введем обозначения
А- участники, которые решили задачи по оптике, n(A)=800;
B- участники, которые решили задачи по механике, n(B)=700;
C- участники, которые решили задачи по молекулярной физике , n(C)=600;
A∩B- участники, которые решили задачи по оптике и механике, n(A∩B)=600;
A∩С- участники, которые решили задачи по оптике и молекулярной физике n(A∩С)=500;
B∩C-, участники, которые решили задачи по механике и молекулярной физике n(B∩C)=400;
A∩B∩C- по механике, молекулярной физике и оптике
n(A∩B∩С)=300;
Число школьников которые решили хотя бы одну задачу найдем по формуле
n(A∪B∪C)=n(a)+n(b)+n(C)-n(A∩B)-n(A∩C)-n(B∩C)+n(A∩b∩C)
n(A∪B∪C)=800+600+700-600-500-400+300=900
Ни одну задачу не решили 1000-900=100 школьников
Задача 5. На олимпиаде по физике школьникам предложили решить три задачи: одну по кинематике, одну по термодинамике, одну по оптике. Результаты олимпиады следующие: задачу по кинематике решили 400 участников, по термодинамике -350, по оптике -300. 300 школьников решили задачи по кинематике и термодинамике, 200- кинематике и оптике, 150- по термодинамике и оптике. 100 человек решили задачи по кинематике, термодинамике и оптике. Сколько человек решило две задачи
Введем обозначения
А- участники, которые решили задачи по кинематике , n(A)=400;
B- участники, которые решили задачи по термодинамике , n(B)=350;
C- участники, которые решили задачи по оптике , n(C)=300;
A∩B- участники, которые решили задачи по кинематике и термодинамике, n(A∩B)=300;
A∩С- участники, которые решили задачи по кинематике и оптике n(A∩С)=200;
B∩C-, участники, которые решили задачи по термодинамике и оптике n(B∩C)=150;
A∩B∩C- по кинематике, термодинамике и оптике
n(A∩B∩С)=100;
Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию:
Определим количество школьников для всех возможных областей:
0) Область К=0, Т=0, О=0: не определено.
1) Область К=0,Т=0, О=1: 50 школьников.
2) Область К=0, Т=1, О=0: школьников нет.
3) Область К=0, Т=1, О=1: 50 школьников.
4) Область К=1, Т=0, О=0: школьников нет.
5) Область К=1, Т=0, О=1: 100 школьников.
6) Область К=1, Т=1, О=0: 200 школьников.
7) Область К=1, Т=1, О=1: 100 школьников.
Запишем значения областей в таблицу:
К Т О
0 0 0 0 —
1 0 0 1 50
2 0 1 0 0
3 0 1 1 50
4 1 0 0 0
5 1 0 1 100
6 1 1 0 200
7 1 1 1 100
Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:
Определим х.
х=200+100+50=350.
Получили, 350 школьников решило две задачи.
Задача 6.
Среди студентов-задолжников провели опрос. Был задан вопрос: «Какой предмет у Вас не сдан?». По результатам опроса выяснилось, что у 150 не сдана математика, у 130 – русский язык, у 50 — история. У 60 студентов есть задолженность по математике и русскому языку, у 20 – математика и история, у 30 – русский язык и история. У 70 человек не зачтён иностранный язык. У 10 человек есть нет зачёта по математике, по русскому языку, по истории. Сколько студентов приняли участие в опросе?
Недостаточно данных для решения задачи, потому что 70 студентов у которых не сдан иностранный могли быть и среди тех студентов у которых не сдача по другим предметам.
Введем обозначения
А- студенты, у которых не сдана математика, n(A)=150;
B- студенты, у которых не сдан русский, n(B)=130;
C- студенты, у которых не сдана история , n(C)=50;
A∩B-студенты которые не сдали математику и русский,
n(A∩B)=60;
A∩С- студенты которые не сдали математику и историю,
n(A∩С)=20;
B∩C-студенты которые не сдали русский и историю n(B∩C)=30;
A∩B∩C- студенты которые не сдали русский, математику и историю
n(A∩B∩С)=10;
Число школьников которые решили хотя бы одну задачу найдем по формуле
n(A∪B∪C)=n(a)+n(b)+n(C)-n(A∩B)-n(A∩C)-n(B∩C)+n(A∩b∩C)
n(A∪B∪C)=800+600+700-600-500-400+300=900
Ни одну задачу не решили 1000-900=100 школьников
Задача 7
Первую или вторую контрольные работы по математике успешно написали 33 студента, первую или третью – 31 студент, вторую или третью – 32 студента. Не менее двух контрольных работ выполнили 20 студентов.
Сколько студентов успешно решили только одну контрольную работу?
Поскольку нам известно, что не менее 20 студентов выполнили двух контрольных работ, сперва находим тех, кто выполнил менее 2 работ.
Для этого поочередно отнимаем от числа выполнивших первую и вторую, вторую и третью, первую и третью работу тех, кто выполнил 2 работы.
Получим:
33 — 20 = 13 студентов.
32 — 20 = 12 студентов.
31 — 20 = 11 студентов.
Находим их общее число.
13 + 12 + 11 = 36 студентов (Выполнили одну из двух работ).
Находим их количество:
36 / 2 = 18 студентов выполнили по 1 контрольной работе.
Задача 8
В классе 35 учеников. Каждый из них пользуется хотя бы одним из видов городского транспорта: метро, автобусом и троллейбусом. Всеми тремя видами транспорта пользуются 6 учеников, метро и автобусом – 15 учеников, метро и троллейбусом – 13 учеников, троллейбусом и автобусом – 9 учеников. Сколько учеников пользуются только одним видом транспорта?
Решение
15-6=9 учеников пользуются только метро и автобусом
13-6=7 учеников пользуются только метро и троллейбусом
9-6=3 учеников пользуются только троллейбусом и автобусом
6 учеников пользуются всеми тремя видами транспорта
35-6-9-7-3=10 учеников пользуются одним видом транспорта
Ссылка на первоисточник:
https://www.tsuab.ru
