Контрольная работа по математике на тему «Линейная алгебра»

Контрольная работа № 1 Тема: Линейная алгебра

Задачи 1 – 10

Решить систему алгебраических уравнений 2x y3z 1; x2y3z 11;   1 x2y z 3; 2 2x y2z 4;  3x2y2z 8.  3x y2z1. 2x y3z 2; x  2y 3z  4;   3 x2y z 1; 4 2x  y  2z  3;  3x  y  2z  7. 3x2y2z 11.  2x  y 3z 10; x  2y 3z  8;   5 x  2y  z  5; 6 2x  y  2z  3;  3x 2y  2z  3.  3x  y  2z  8. 3x  y  z  5; 2x2y z 3;  7 2x  2y  z  1;  8 2x2y2z 3;  x  y 3z 11.  x2y z 1. 3x  y  z  6; 2x  2y  z  4;   9 2x  2y  z  2; 10 2x  y  2z  9;  x  y 3z  6.  x  2y  z  2 Значение неизвестных x, y, z находить: а) с помощью определителей по формуле Крамера; б) с помощью обратной матрицы с предварительной её проверкой; в) методом Гаусса с приведением расширенной матрицы к ступенчатому виду. Тема: Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Задачи № 11- 20

Даны координаты вершин пирамиды: A1 A2 A3 A4 . Требуется найти: 1) вектор A1A2 его длину и направление; 2) угол между векторами A1A2 и A1A4 ; 3) уравнение грани A A A1 2 3 ; A 4) площадь грани A1 A2 3 ; A 5) угол между ребром A1 A 4 и гранью A1 A2 3 ; 6) уравнение прямой A1 A 4 ; 7) объем пирамиды. Сделать чертеж. 11 A A 1 (3;1;4); A2 (-1;6;1); 3 (-1;1;6); A4 (0;4;-1). A 12 A1 (3;3:9); A2 (6;9;1); 3 (1:7:3); A4 (8;5:8). A 13 A1 (3;5;4); A2 (5;8;3); 3 (1;9;9); A4 (6;4;8). A 14 A1 (2;4;3); A2 (7;6:3); 3 (4;9;3); A4 (3;6:7). A 15 A1 (9;5:5); A2 (-3;7;1); 3 (5:7;8); A4 (6;9;2). A 16 A1 (0:7:1); A2 (4;1:5); 3 (4;6;3); A4 (3;9:8). A 17 A1 (5;5:1): A2 (3;8;4); 3 (3;5;10); A4 (5;8:2). A 18 A1 (6;1;1); A2 (4;6;6); 3 (4;2;0); A4 (1;2;6). A 19 A1 (7;5,3); A2 (9;4;4); 3 (4;5;7); A4 (7;9;6). A 20 A1 (6;6:2); A2 (5;4 3 A ;7); (2:4;7); 4 (7;3;0).

Задачи № 21-30

21 Дана прямая x  2y  4  0 и точка A(5;7) . Найти точку пересечения данной прямой и перпендикуляра, опущенного из точки А на данную прямую. 22 Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых: 5x  y 10  0 , 4x  2y  6  0 и параллельной прямой x  3y  0 . 23 Даны уравнения прямых: 2x  y  3 ; 7x  3y  4 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения данных прямых, перпендикулярно прямой 4x  y  3  0 . 24 Составить уравнение диагонали ромба, не проходящей через точку пересечения его сторон x  y 1 0 и y 1  0 , если известна точка пересечения его диагоналей P1;0 . 25 Даны уравнения двух сторон треугольника: 4x  5y  9  0 и x  4y  3  0 . Найти  9 41 уравнение третьей стороны, если известна точка пересечения высот  ;  .  7 7  26 Даны две вершины треугольника: A(–5;5); В ( 3 ;1 ) и точка пересечения его высот D ( 2 ;5 ) . Составить уравнение высоты к стороне А В . 27 Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон: 2x  y  4  0 и 2x  y 10  0 , уравнение одной из его диагоналей x  y  2  0 . 28 Уравнения двух сторон прямоугольника x  2y  3  0 и 2x  y  4  0 , а уравнение одной из диагоналей x2  0 . Найти координаты вершин прямоугольника. 29 В равнобедренном треугольнике основание А В : A (2;-2); B(3;-l). Составить уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно высоте треугольника к стороне А В . 30 Даны уравнения двух высот треугольника: x  y  4 и y  2x и одна из его вершин A(0;2). Составить уравнения сторон треугольника, проходящих через точку А .

Задачи 31-40

31 Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки A(2;2) и от оси абсцисс. 32 Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки A(3;0), чем от оси ординат. 33 Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояния до начала координат к расстоянию до прямой 3x16  0 равно 0,6. 34 Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое ближе к точке A(1;0), чем к точке B(-2;0). 35 Составить уравнение линии, каждая точка которой является центром окружности, касающейся оси абсцисс и проходящей через точку А (0;3). 36 Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояния от начала координат и от точки A (0;5) относятся как 3/2. 37 Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние от точки A(0;1) вдвое меньше расстояния от прямой y  4 . 38 Составить уравнение линии, кaждая точка которой равноудалена от точки A(4;2) и от оси ординат. 39 Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки A(4;0) вдвое дальше, чем от прямой x 1. 40 Составить уравнение линии, каждая точка которой является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, проходящую через точку A(2;0).

Задачи № 41-50

Привести заданное алгебраическое уравнение второго порядка к каноническому виду (1) или (2), (3), (4). X 2  aY Y 21) или  aX ; X 2 Y 2  1; a2 b22 ) X 2 Y 2   1; 3 ) a 2 b2 X 2 Y 2 2 4 )  a . В «старой» (исходной) системе координат построить «новую» (каноническую) систему координат и кривую линию, соответствующую уравнению. 2 41 x 10x  4y  33  0 x2  4x  5y 242 . 16  0 2 43 . x  4y 2  4y 12  0 2 44 . y  6x  2y 11 0 y 245 . 5x  6y  4  0 2 2 46 . x  y  4y 12  0 2 47 x  6x  5y  6  0 2 2 48 . 2x  4x  3y 10  0 x2  y 249 . 8x  2y 1 0 x2  2x  2y 250 .  4y 5  0 Тема: Введение в математический анализ

Задачи № 51-60.

Найти пределы функций (без правила Лопиталя): x 2  x 4  z  4  z 1 cos x  x  5  lim ; lim ; lim ; lim   . 51 a) x 4x  5 2 x б) z0 5z в) x0 2x г)  x 1  x 2×3  3 2  x  3 arcsin 3x  3x 1 lim ; lim ; lim ; lim   . x 5×3 1 x 52 a) б) x7 x  7 в) x0 5x г)  3x 1 2x 2x 4  x3  2 x  x 1 cos 2x  8x 1 lim ; lim ; lim ; lim   . 53 a) x x 4  2x 2  2 1 б) x1 x  x в) x0 x x г)  8x  3×3  2×2  6 x 6x 1 lim ; lim ; lim ; 3 x x0 x0 lim 1 3x . 54 a) x 2x  x  3 б) 4  3x  2 в) arctgx г) x0 x 4  5x 1 3 1 1 x2 cos x  cos x lim ; lim ; lim ; 4 2 2 lim xln x 1 ln x. 55 a) x 5x  2x 1 б) x0 x в) x0 x г) x 2  x2  3×4 1 4x  1 3x x2ctg2x lim ; lim ; lim ; 4 2 lim x 1ln x  2 ln x. 56 a) x 5x  6x 1 б) x0 x  x в) x0 sin 3x г) x 5×5  3×4  x 1 3×2 1 1 cos 6x lim ; lim ; lim ; 5 lim x  5ln x 1 ln x. 57 a) x x  3x 2  2 б) x0 x2 в) x0 1 cos 2x г) x 2 xtg 4×2  2x 1 2x 1  5 2 x lim ; lim ; lim ; 2 2 lim 7  6x3x3 . 58 a) x 3x  4x  5 б) x3 x  3 в) x0 x г) x1 9×4  3×2  x 1 3x  2x  6 1 cos 4x 1 lim ; lim ; lim ; 2 4 2 x0 xtg2x lim 3x 5x 4 . 59 a) x x  5 б) x5 x  5x в) г) x2 11×5  4×3  3 x  2 1 lim ; lim ; x x5  2×3 x2 lim xctg3x; lim 3x 8x3 . 60 a) 1 б) 2x  2 в) x0 г) x3

Задачи № 61-70.

Исследовать функцию f (x) на непрерывность; найти точки разрыва функции и определить их тип.   x 2  x, x  0, cos x, x  , 2   6 y   x, 0  x 1,   1 y  0,  x   ,   2, x 1.  2  x, x   .  sin x, x  0,   7 y  3 x , 0  x 1,  x  2, x  0,  2x 1, x 1.  2 2 y   x 1 , 0  x  2,   x  3, x  2  2x  5, x  0,   8 y  x 1, 0  x  4,  x3 , x  0,   3 x , x  4    3 y  tg x, 0  x  ,  4   3, x  .  4  cos x, x  0,  x  3, x  0,  9 y  1 x 2 , 0  x  2,  4 y  2 x , 0  x  2,   x, x  2   2x, x  2   2  2 3x , x 0, 3x 1, x 1,   5 y   x , 0  x  4, 10 y  2x, 1 x  3,   1, x  4   x  2, x  3