Эксперт по сдаче вступительных испытаний в ВУЗах
Модуль 3. Системы счисления
Тема 3.3 Системы счисления. Действия с числами, записанными в различных системах счисления.
Основные понятия: позиционные системы счисления, арифметические операции над двоичными, восьмеричными и шестнадцатеричными числами.
Сложение
При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.
Сложение в двоичной системе
Пример 1. Сложитете числа: 111012 и 10112. Решение.
1 1 1 1
1 1 1 0 12
+
1 0 1 12
1 0 1 0 0 02
Ответ: 111012 + 10112 = 1010002.
Пример 2. Сложите числа: 11112 и 1
1 1 1
1 1 1 1
+
1
1 0 0 0 0
Ответ: 11112 + 12 = 100002
Пример 3. Сложите числа:101,0112 и 1,112
1 1 1
1 0 1, 0 1 1
+
1, 1 1
1 1 1, 0 0 1
Ответ: 101,0112 + 1,112 = 111,0012
Сложение в восьмеричной системе
| + |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
| 0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
| 1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
| 2 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
| 3 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
| 4 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
| 5 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
| 6 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
| 7 |
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
Пример 4. Сложите числа: 1738 и 568. Решение.
1 1
1 7 38
+
5 68
2 6 28
Ответ: 1738 + 568 = 2628
Пример 5. Сложите числа: 215, 48 и 73, 618.
1 1 1
2 1 5, 48
+
7 3, 6 18
3 1 1, 2 18
Ответ: 215, 48 + 73, 618 = 311,218.
Сложение в шестнадцатеричной системе
| + |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
| 0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
| 1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
| 2 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
| 3 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
| 4 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
| 5 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
| 6 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
| 7 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
| 8 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
| 9 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
| A |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
| B |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1A |
| C |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1A |
1B |
| D |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1A |
1B |
1C |
| E |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1A |
1B |
1C |
1D |
| F |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1A |
1B |
1C |
1D |
1E |
Пример 6: Сложите числа: A9716 и 1D16. Решение.
1
A 9 716
+
1 D16
A B 416
Ответ: A9716 + 1D16 = AB416.
Пример 7. Сложите числа: 7С, 816 и 2D,E16.
1 1
7 C, 816
+
2 D, E16
A A, 616
Ответ: 7С, 816 + 2D,E16 = AA,616.
Вычитание.
Вычитание в двоичной системе
При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и у результата ставится соответствующий знак (* означает заем из старшего разряда).
Пример 8. Вычтите число 1112 из числа 10112.
*
1 0 1 12
—
1 1 12
1 0 02
Ответ: 10112 — 10,12 = 1001,12.
Пример 9. Вычтите число 10,12 из числа 11002.
* *
1 1 0 02
— 1 0, 12
1 0 0 1, 12
Ответ: 11002 — 10,12 = 1001,12.
Пример 10. Вычтите число 10112 из числа 112.
По абсолютной величине большее из чисел – число 10112. Вычтем из него число 112. 112 – 10112 = — (10112 – 112)
1 0 1 12
—
1 12
— 1 0 0 02
Ответ: 112 – 10112 = — 10002.
Вычитание в восьмеричной системе Пример 11. Вычтите единицу из числа 1008
*
1 0 08
—
18
7 78
Ответ: 1008 – 18 = 778.
Пример 12. Вычтите число 73,68 из числа 311,28.
* * *
3 1 1, 28
—
7 3, 68
2 1 5, 48
Ответ: 311,28 — 73,68 = 215,48.
Вычитание в шестнадцатеричной системе Пример 13. Вычтите единицу из числа 100 .
*
1 0 016
—
116
F F16
Ответ: 10016 — 116 = FF16.
Пример 14. Вычтите число 2A,C16 из числа D8,416.
* *
D 8, 416
—
2 A, C16
A D, 816
Ответ: D8,416 — 2A,C16 = AD,816
Умножение
Операция умножения выполняется с использованием таблицы умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.
Умножение на ноль можно не производить, а все оставшиеся справа нули, не участвующие в умножении, приписываются справа к результату умножения.
Умножение в двоичной системе
В двоичной системе счисления операция умножения сводится к сдвигам множимого и сложению промежуточных результатов.
Таблица умножения
Пример 15. Выполните умножение чисел 10112 и 1012.
1 0 1 12
×
1 0 12
1 0 1 1
+
1 0 1 1
1 1 0 1 1 12
Ответ: 10112 × 1012 = 1101112
Пример 16. Выполните умножение чисел 10112 и 1112.
1 0 1 12
×
1 1 12
1 0 1 1
+ 1 0 1 1
1 0 1 1
1 0 0 1 1 0 12
Ответ: 10112 × 1112 = 10011012
Пример 17. Выполните умножение чисел 101002 и 10102.
1 0 1 0 02
×
1 0 1 02
1 0 1
+
1 0 1
1 1 0 0 1 0 0 02
Ответ: 101002 × 10102 = 110010002.
Умножение в восьмеричной системе
Таблица умножения
| × |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
| 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| 1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
| 2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
10 |
12 |
14 |
16 |
| 3 |
0 |
3 |
6 |
11 |
14 |
17 |
22 |
25 |
| 4 |
0 |
4 |
10 |
14 |
20 |
24 |
30 |
34 |
| 5 |
0 |
5 |
12 |
17 |
24 |
31 |
36 |
43 |
| 6 |
0 |
6 |
14 |
22 |
30 |
36 |
44 |
52 |
| 7 |
0 |
7 |
16 |
25 |
34 |
43 |
52 |
61 |
Пример 18. Выполните умножение чисел: 1638 и 638.
1 6 38
×
6 38
+ 5 3 1
1 2 6 2
1 3 3 5 18
Ответ: 1638 × 638 = 133518.
Умножение в шестнадцатеричной системе
Пример 19. Выполните умножение чисел: A3C16 и 2E16 A 3 C16
×
2 E16
8 F 4 8
+
1 4 7 8
1 D 6 C 816
Ответ: A3C16 × 2E16 = 1D6C816.
1.
Заполните таблицу:
| Основание системы счисления |
«!» |
«V» |
| Сложение |
| 2 |
|
|
| Вычитание |
| 2 |
|
|
| Умножение |
| 2 |
|
|
|
Сложение |
|
| 8 |
|
|
|
Вычитание |
|
| 8 |
|
|
|
Умножение |
|
| 8 |
|
|
|
Сложение |
|
| 16 |
|
|
|
Вычитание |
|
| 16 |
|
|
|
Умножение |
|
| 16 |
|
|
Обсудите заполненную таблицу с другими студентами группы. Внесите в нее необходимые исправления и дополнения.
- Составьте таблицу умножения для шестнадцатеричных чисел.
Даны два числа: первое – в восьмеричной системе счисления, второе – в шестнадцатеричной. Найти десятичное представление их суммы. Какие способы решения этой задачи вы можете предложить? Какой способ вы считаете более рациональным? Ответ аргументируйте.
| Ответьте на вопросы и решите следующие задачи: |
| 1. Сложите числа: |
| а) 10111012 и 11101112; д) 378 и 758; и) A16 и F16; |
| б) 1011,1012 и 101,0112; е) 1658 и 378; к) 1916 и C16; |
| в) 10112, 112 и 111,12; ж) 7,58 и 14,68; л) A,B16 и E,F16; |
| г) 10112 , 11,12 и 1112; з) 68, 178 и 78; м) E16, 916 и F16. |
|
2. Вычтите: |
| а) 1112 из 101002; д) 158 из 208; и) 1А16 из 3116; |
| б) 10,112 из 100,12; е) 478 из 1028; к) F9E16 из 2А3016; |
| в) 111,12 из 100102; ж) 56,78 из 1018; л) D,116 из B,9216; |
| г) 100012 из 1110,112; з) 16,548 из 30,018; м) ABC16 из 567816. |
| 3. Перемножьте числа: |
| а) 1011012 и 1012; д) 378 и 48; |
| б) 1111012 и 11,012; е) 168 и 78; |
| в) 1011,112 и 101,12; ж) 7,58 и 1,68; |
| г) 1012 и 1111,0012; з) 6,258 и 7,128. |
| 4. Вычислите значения выражений: |
| а) 2568 + 10110,12 *(608 + 1210) — 1F16; |
| б) 1AD16 — 1001011002 : 10102 + 2178; |
| в) 101010 + (10616 — 110111012) * 128; |
| г) 10112 *11002 : 148 + (1000002 — 408). |
| 5. Вычислите значение суммы 102 + 108 + 1016 в двоичной системе счисления. |
| 6. Решите уравнение 11002·Х16=100111002.. Ответ дайте в шестнадцатери |
| системе счисления. |
