Практическая работа по дисциплине «Информатика» для ВлГУ



Модуль 3. Системы счисления

Тема 3.1 Системы счисления. Представление чисел в различных системах счисления.

Основные понятия: позиционные и непозиционные системы счисления, алфавит, базис, основание системы счисления, порядок

Система счисления — совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Способов записи чисел цифровыми знаками существует бесчисленное множество. Любая система счисления должна давать возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне; это представление должно быть единственным, удобным для оперирования с ним.

Непозиционная система счисления — система, для которой значение символа не зависит от его положения в числе. Принципы построения таких систем не сложны. Для их образования используют в основном операции сложения и вычитания. Например, система с единым символом — палочкой — встречалась у многих народов. Для изображения какого-то числа в этой системе нужно записать количество палочек, равное данному числу. Эта система не эффективна, так как запись числа получается длинной. Другим примером непозиционной системы счисления является римская система, использующая набор следующих символов: I, X, V, L, C, D, M и т.д. В этой системе существует отклонение от правила независимости значения цифры от положения в числе. В числах LX и XL символ X принимает два различных значения : +10 — в первом случае и -10 — во втором.

Позиционная система счисления — система изображения чисел, в которой значение символа зависит от его позиции (местоположения) в числе.

В дальнейшем изложении будем рассматривать только позиционные системы.

Наибольшее распространение получила десятичная система счисления, в которой для записи чисел используются цифры 0, 1, …, 9.

Самыми распространенными в вычислительной технике являются двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы счисления.

Двоичная система наиболее применима в компьютерной технике. Ее преимущества:

  • а) простота арифметических и логических операций;
  • б) возможность применения аппарата алгебры логики для анализа и синтеза различных функциональных модулей.

Десятичная система имеет широкое применение в повседневной жизни.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления используются, в основном, для более компактной записи чисел.

Символы, при помощи которых записываются числа, называются цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления. Количество цифр, составляющих алфавит,

 

называется его размерностью.

Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от ее положения в записи числа.

В привычной нам десятичной системе значение числа образуется следующим образом: значения цифр умножаются на «веса» соответствующих разрядов и все полученные значения складываются. Например, 2150 = 2*1000 + 1*100 + 5*10 + 0*1. Такой способ образования значения числа называется аддитивно-мультипликативным.

Последовательность чисел, каждое из которых задает «вес» соответствующего разряда, называется базисом позиционной системы счисления.

Основное достоинство практически любой позиционной системы счисления — возможность записи произвольного числа при помощи ограниченного количества символов.

Позиционную систему счисления называют традиционной, если ее базис образуют члены геометрической прогрессии, а значения цифр есть целые неотрицательные числа.

Так, базисы десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления образуют геометрические прогрессии со знаменателями 10, 2, 8 и 16 соответственно. В общем виде базис традиционной системы счисления можно записать так:

q-3, q-2, q-1, q-0, q, q2, q3, …, qn, …

Знаменатель q геометрической прогрессии, члены которой образуют базис традиционной системы счисления, называется основанием этой системы счисления. Традиционные системы счисления с основанием q иначе называют q-ичными.

В q-ичных системах размерность алфавита равна основанию системы счисления.

Так, алфавит десятичной системы составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9. Алфавитом произвольной системы счисления с основанием q служат числа 0, 1, … , q-1, каждое из которых должно быть записано с помощью одного уникального символа, младшей цифрой всегда является 0.

В класс позиционных систем счисления входят также системы, в которых либо базис не является геометрической прогрессией, а цифры есть целые неотрицательные числа, либо базис является геометрической прогрессией, но цифры не являются целыми неотрица- тельными числами.

К первым можно отнести факториалъную и фибоначчиеву системы счисления, ко вторым — уравновешенные системы счисления. Такие системы будем называть нетрадиционными. Алфавитом фибоначчиевой системы являются цифры 0 и 1, а ее базисом

— последовательность чисел Фибоначчи 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 … .

Базисом факториальной системы счисления является последовательность 1!, 2!, … , п!, ….

В отношении алфавита этой системы можно сделать замечание: количество цифр, используемых в разряде, увеличивается с ростом номера разряда.

Пример 2. Приведем запись некоторых десятичных чисел в различных нетрадиционных позиционных системах счисления.

Десятичная система счисления Факториальная система счисления Фибоначчиева система счисления Уравновешенная троичная система счисления
10 120 10010 101
25 1001 1000101 1011
100 4020 1000010100 11101

Мы видим, что для описания системы счисления используются понятия «базис», «алфавит»,

«основание».

Для однозначного определения позиционной системы счисления, у которой в качестве цифр используются натуральные числа и 0, необходимо и достаточно указать только ее базис: последовательность чисел …, qо, qv …, qп, …. Все остальные компоненты системы являются производными от базиса.

Последовательность чисел может являться базисом позиционной системы счисления только тогда, когда в соответствующей этому базису системе может быть представлено любое число (если система предназначена только для нумерации целых чисел, то любое целое число).

В качестве цифр систем счисления могут быть использованы любые символы, это наглядно демонстрируют нам ученые, занимающиеся историей математики: вавилоняне использовали клиновидные цифры (у них не было бумаги, и «писали» они на мягких глиняных до щечках); китайцы использовали иероглифы; мы используем арабские цифры. Однако в математике придерживаются следующих договоренностей в отношении вида используемых цифр.

Если основание системы счисления Р меньше 10, то для символьного представления цифр в ней, как правило, используются первые Р десятичных цифр (от 0 до Р — 1). Например, в пятеричной системе счисления будут использоваться пять цифр: 0, 1, 2, 3, 4.

Для 10 < Р < 37 в качестве первых десяти цифр также обычно используют их десятичное представление, а для остальных цифр — буквы латинского алфавита.

Для систем счисления с основаниями, большими 36, единых правил для формы записи цифр не существует.

Для двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной систем счисления приведем обозначения цифр:

q = 10 : ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

q = 8 : ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;

q = 2 : ai = 0, 1;

q = 16 : ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F;

Десятичное значение: 10, 11, 12, 13, 14, 15

Любое десятичное число можно представить в любой позиционной системе счисления, а для целых чисел в большинстве систем это можно сделать единственным способом.

Пусть q — произвольное натуральное число, большее единицы. Существует и единственно представление любого натурального числа A в виде степенного ряда:

Aq = an-1 · qn-1 + . . . + a1 · q1 + a0 · q0 + a-1 · q-1 + a-2 · q-2 + . . . + a-m  · q-m Пользуясь формулой для числа, записанного в системе с основанием, не равным 10,

можно найти его десятичный эквивалент. При этом учитываем, что 1 и 0 — цифры, имеющие одинаковый смысл в любой системе счисления.

 

Пример 1.

A8 = 132; A10 = ?;

A10 = 1328 = (1 · 82 + 3 · 81 + 2 · 80)10 = (64 + 24 + 2)10 = 9010.

Пример 2.

A2 = 100110; A10 = ?;

A10 = 1001102 = (1 · 25 + 1 · 22 + 1 · 21)10 = (32 + 4 + 2)10 = 3810.

Пример 3.

A16 = A9; A10 = ?;

A10 = A916 = (10 · 161 + 9 · 160)10 = (160 + 9)10 = 16910.

Пример 4.

A8 = 0,24; A10 = ?;

A10 = 0,248 = (2 · 8-1 + 4 · 8-2)10 = 0,312510.

Пример 5.

A2 = 0,101; A10 = ?;

A10 = 0,1012 = (1 · 2-1 + 1 · 2-3)10 = 0,62510.

Пример 6.

A16 = 0,C; A10 = ?;

A10 = 0,C16 = (12 · 16-1) 10 = 0,7510.

 

Заполните таблицу:

«V» «+» «-» «?»

 

Решите следующие задачи:

  1. Какое множество понятий однозначно определяет позиционную систему счисления:
  • {базис, алфавит, основание};
  • {базис, алфавит};
  • {базис}?
  1. Какая последовательность чисел может быть использована в качестве базиса позиционной системы счисления?
  2. Какие символы могут быть использованы в качестве цифр системы счисления?
  3. В примере 2 были приведены представления чисел 10, 25 и 100 в системах счисления, отличных от десятичной. Можно ли эти числа записать в указанных системах еще и другим способом или это представление единственно?
  4. Запишите десятичные представления чисел:
  5. 1011001112;
  6. 1AC9F16;
  7. 17458;
  8. 11001,0112;
  9. ED4A,C116$
  10. 147,258.
X