Численные методы решения уравнений в частных производных

Для расчета процессов с большими деформациями исходной области интегрирования применяется

• метод билинейной интерполяции
• (Правильный ответ) метод частиц в ячейках
• метод гибкой аппроксимации

Разрешение схемы расщепления по направлениям называется

• (Правильный ответ) методом дробных шагов
• методом коррекции переходов
• методом осцилляции

Порядок разностной схемы, по которой будет производиться расчет в областях с большими локальными градиентами решения, зависит

• от порядка аппроксимации
• (Правильный ответ) от параметра гибридности
• от параметров детерминации

Что обозначает G(s, ?) для задачи w? = — g(s), w?(0) = w(1) = 0?

• функцию Ирвинга
• (Правильный ответ) функцию Грина
• функцию Коши

Уравнения схемы расщепления по направлениям легко решаются

• методом дихотомии
• (Правильный ответ) методом прогонки
• методом золотого сечения

Трансверсальность к характеристикам обозначает

• (Правильный ответ) отсутствие точек касания
• гиперопределенность этих характеристик
• гипермодальность этих характеристик

Возможно ли вычисление интегралов методом трапеций?

• не имеет смысла и не применяется
• (Правильный ответ) да, возможно
• нет, невозможно

Первая проблема, которая возникает в методе Ритца — это

• проектирование свободных областей
• (Правильный ответ) выбор подходящего базиса
• интерполирование дифференциальных коэффициентов

Возможно ли разрешение дифференциально-разностной системы уравнений, полученной при использовании сеточного аналога вариационного принципа Гамильтона?

• (Правильный ответ) да, возможно
• все зависит от значения погрешности граничных значений исходной системы
• нет, это одно из исключений

Позволяет ли вариационный принцип Ритца позволяет получить метод конечных элементов для уравнений в частных производных эллиптического типа на нерегулярных сетках?

• нет, только на регулярных сетках
• (Правильный ответ) да, позволяет
• зависит от граничного коэффициента Коши

Разностные схемы для многомерных задач

• (Правильный ответ) применяются
• не имеют смысла вообще
• не применяются из соображений устойчивости

Методы конечных элементов

• (Правильный ответ) являются самыми распространенными численными методами в мире
• используются очень редко
• не используются уже давно

Как частный случай квазилинейного уравнения можно рассматривать

• билинейное уравнение
• (Правильный ответ) линейное уравнение
• детерминантное уравнение

Для численного решения одномерного линейного уравнения теплопроводности применяется

• параметрическая двухслойная пятиточечная разностная схема
• (Правильный ответ) параметрическая двухслойная шеститочечная разностная схема
• параметрическая двухслойная четырехточечная разностная схема

Какими являются функции пространства Соболева?

• инверсными
• интерполированными
• (Правильный ответ) с ограниченным интегралом

Применим ли для гибридных схем метод разложения сеточной функции в ряд Тейлора?

• (Правильный ответ) да, применим для увеличения точности вычислений
• нет, не применим
• да, применим для подсчета граничных и запредельных значений

Имеем уравнение Хопфа с начальным условием: u(x, 0)=ch-2(x). Вдоль каждой характеристики значение функции

• изменяется
• не определено
• (Правильный ответ) остается постоянным

При использовании гибридных схем разложение сеточной функции в ряд Тейлора позволяет

• (Правильный ответ) повышать точность вычислений
• только определять знаки граничных значений
• считать граничные значения

Явление, при котором разные пространственные гармоники разложения начального возмущения в ряд Фурье распространяются по сетке с разными скоростями, называется

• интерференция
• (Правильный ответ) дисперсия
• дифракция

Простейшей реализацией многосеточного метода является

• (Правильный ответ) каскадный алгоритм
• инверсный алгоритм
• детерминированный алгоритм

Первым этапом двухэтапного итерационного процесса формирования канонической формы записи трехслойного итерационного метода является

• итератор
• бифуркатор
• (Правильный ответ) предиктор

Решать уравнения Хопфа можно с использованием

• обобщения областей сходимости корней
• (Правильный ответ) метода характеристик
• метода контекстного детерминирования

Монотонная разностная схема имеет название

• схема с нулевой аппроксимацией
• схема с отрицательной аппроксимацией
• (Правильный ответ) схема с положительной аппроксимацией

Возможно ли представление разностной схемы в потоковом виде?

• не применяется по соображениям устойчивости
• нет, невозможно
• (Правильный ответ) да, возможно

Алгоритмом решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей является

• метод лесенки
• (Правильный ответ) метод прогонки
• метод детерминантов

Вариационный принцип Ритца позволяет получить метод конечных элементов для уравнений в частных производных эллиптического типа

• (Правильный ответ) как на регулярных, так и на нерегулярных сетках
• только на регулярных сетках
• только на нерегулярных сетках

Если в сетке для любых двух вершин ячеек существует ломаная, их соединяющая и состоящая из ребер ячеек, то такая сетка считается

• (Правильный ответ) связной
• итерационной
• терминальной

Когда в правой части системы стоят коэффициенты разложения на предыдущем слое по времени схема называется

• неявной
• терминальной
• (Правильный ответ) явной

Если для однородного уравнения переноса какая — либо характеристика имеет с начальной гиперповерхностью более одной общей точки, то значения начальной функции во всех этих точках

• стандартизируются или учитываются, как ошибки округления
• (Правильный ответ) должны быть равны между собой
• отбрасываются

Вдоль характеристики решение однородного уравнения переноса сохраняет постоянное значение. Верно ли это?

• (Правильный ответ) да, это верно
• все зависит от коэффициентов уравнения
• нет, это неверно

Разностная схема называется консервативной, если

• (Правильный ответ) соответствующий закон сохранения выполняется на сеточном уровне
• интерполяционные данные не зависят от контекста переопределений
• (Правильный ответ) в дифференциальной задаче выполняется некий закон сохранения

Действие разностного оператора, приближающего дифференциальный оператор Лапласа, на произвольный полином второй степени

• производится априорным методом целых коэффициентов
• (Правильный ответ) совпадает по результату с действием дифференциального оператора
• интерпретирует градиент полинома в инверсную форму

Лагранжева расчетная сетка будет

• (Правильный ответ) подвижной
• неподвижной
• структурно неопределенной

Одномерная система уравнений газовой динамики является

• (Правильный ответ) квазилинейной системой гиперболического типа
• билинейной системой гиперболического типа
• нелинейной системой гиперболического типа

Наиболее эффективными алгоритмами для численного решения системы сеточных уравнений являются

• аппроксимационные алгоритмы
• интерполяционные алгоритмы
• (Правильный ответ) итерационные алгоритмы

Систему уравнений метода Ритца при правильном выборе базиса можно решать

• бикубической интерполяцией
• методом дихотомии
• (Правильный ответ) быстро сходящимися итерационными методами

Какие схемы получаются при использовании вариационных принципов для дискретных аналогов функционалов?

• (Правильный ответ) консервативные
• гипертранспортные
• аддитивные

Приведена ли дифференциально-разностная система уравнений, полученная при использовании сеточного аналога вариационного принципа Гамильтона, к нормальной форме Коши?

• (Правильный ответ) нет, не приведена
• приведена изначально
• может быть приведена, если использовать инверсный принцип Лагранжа

Для нахождения сеточной функции решения надо получить

• решение билинейно аппроксимированного многочлена Коши
• (Правильный ответ) решение системы линейных уравнений большой размерности с разреженной матрицей специального вида
• решение в общих параметрах контекстного уравнения Лагранжа

С увеличением постоянной адиабаты адиабатическая скорость звука

• уменьшается
• (Правильный ответ) увеличивается
• остается неизменной

Чем больше частиц заключено в единице объема, тем длина свободного пробега частицы

• больше
• (Правильный ответ) меньше
• она не изменяется никогда — это константа

Количество итераций метода Зейделя для достижения заданной точности

• равно количеству итераций по методу Якоби
• (Правильный ответ) в два раза меньше количества итераций по методу Якоби
• в два раза больше количества итераций по методу Якоби

В чем недостаток неявной схемы с нелинейностью на нижнем слое при численном решении нелинейного уравнения теплопроводности?

• (Правильный ответ) в необходимости выполнения условия, ограничивающего шаг по времени
• в необходимости интерполирования по комплексным коэффициентам
• в необходимость аппроксимации методом полуквадратов

Необходимый спектральный признак устойчивости носит название

• признак Лагранжа
• (Правильный ответ) признак фон Неймана
• признак Коши

Верно ли то, что функции пространства Соболева являются функциями с неограниченным интегралом?

• да, это верно
• (Правильный ответ) нет, это неверно
• это верно только для комплексного подпространства пространства Соболева

Простейший шаблон разностной схемы «крест» является

• (Правильный ответ) пятиточечным
• шеститочечным
• трехточечным

Рассматривается задача о движении твердого нерастяжимого стержня, закрепленного в фиксированной точке, а на другой конец стержня действует определенная сила. К составляющим частям потенциальной энергии стержня относят

• (Правильный ответ) работу внешней силы
• работу силы сопротивления
• работу амплитудной силы колебательности

Для построения схемы Лакса — Вендроффа для квазилинейных уравнений вводят

• априорные точки
• (Правильный ответ) точки с дробными индексами
• агрегатные точки

Может ли разностная схема быть консервативной?

• это зависит только от коэффициентов интерполяции
• нет, не может
• (Правильный ответ) да, может

Разностная схема для задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения носит название

• (Правильный ответ) схема Эйлера
• схема Фальберга
• схема Кутты

Какие задачи следует отнести к задачам для уравнений в частных производных?

• (Правильный ответ) смешанную задачу для уравнения теплопроводности
• (Правильный ответ) задачу Коши для уравнения теплопроводности
• (Правильный ответ) смешанную задачу для уравнения переноса

Верно ли то, что если схема увеличивает число экстремумов в разностном решении задачи по сравнению с количеством экстремумов в точном решении задачи, то такую схему называют монотонной?

• (Правильный ответ) нет, это неверно
• да, это верно
• все зависит от знака коэффициента Лагранжа

Чем уравнение переноса пассивной примеси отличается от линейного уравнения переноса?

• уравнение переноса пассивной примеси не содержит вторых производных
• линейное уравнение переноса записывается в частных производных
• (Правильный ответ) это два одинаковых уравнения, только по-разному названных

С помощью чего можно определить явность разностной схемы?

• (Правильный ответ) с помощью значения номера слоев по времени
• с помощью обобщения запредельных значений
• с помощью градиентных интерпретаций

Безразмерная постоянная, равная отношению теплоемкости газа при постоянном давлении и теплоемкости при постоянном объеме называется

• (Правильный ответ) постоянная адиабаты
• постоянная изотермы
• постоянная изобары

Метод дробных шагов — это

• (Правильный ответ) реализация схемы расщепления по направлениям
• детерминирование погрешностей округления
• определение запредельных значений

Для чего применяется условие Куранта — Фридрихса — Леви?

• для определения коэффициентов интерполяции
• для определения аппроксимирующей разности
• (Правильный ответ) для определения сходимости разностной задачи

В случае использования «неудачных» базисов число обусловленности матрицы системы линейных уравнений для определения коэффициентов разложения по базису метода Ритца

• стремится к нулю
• (Правильный ответ) достаточно велико
• не превышает среднее значение инверсной определенности базисных детерминантов

Все точки спектра при разностной схеме Гельфанда лежат

• (Правильный ответ) на единичной окружности
• ниже оси абсцисс
• в мнимой части комплексной полуплоскости

При записи соответствующих законов сохранения в интегральной форме получается

• априорная форма уравнений газовой динамики
• детерминантная форма уравнений газовой динамики
• (Правильный ответ) дивергентная форма уравнений газовой динамики

В каком случае схема Лакса — Вендроффа является устойчивой?

• (Правильный ответ) при выполнении условия Куранта
• при совпадении ее значения с коэффициентом Ирвинга
• при ее соответствии схеме Хаффмана

Если область зависимости разностного уравнения не учитывает область зависимости решения исходного дифференциального уравнения, то

• (Правильный ответ) неизвестно, будет ли сходимость
• аппроксимация разностных зависимостей приведет к точным результатам
• система будет неопределенной

Весовые множители при реализации схемы расщепления по направлениям подбираются

• произвольным образом
• интуитивно непосредственно в ходе решения
• (Правильный ответ) из условий наилучшей суммарной аппроксимации

К этапам построения базисных функций следует отнести

• априорную регуляцию плотности распределения по методу Лагранжа
• интерполирование коэффициентов Коши для стандартных подобластей
• (Правильный ответ) триангуляцию области

Метод частиц в ячейках носит название

• (Правильный ответ) метод Харлоу
• метод Ирвинга
• метод Коши

Приближение линейного одномерного уравнения переноса для применения схемы Годунова осуществляется по схеме

• «золотого сечения»
• «правило 3/8»
• (Правильный ответ) «правый уголок»

При использовании сеточного аналога вариационного принципа Гамильтона получается

• интегро-дифференциальная система уравнений
• априорно-независимая система уравнений
• (Правильный ответ) дифференциально-разностная система уравнений

Для решения одномерной смешанной задачи для уравнений в частных производных параболического типа область определения искомой функции

• интерполируется по трансцендентным зависимостям
• (Правильный ответ) покрывается расчетной сеткой
• аппроксимируется по разностным методам

Схему Лакса — Вендроффа можно получить

• (Правильный ответ) путем более точного учета главного члена погрешности аппроксимации
• методом графической интерполяции
• (Правильный ответ) методом неопределенных коэффициентов

Если система уравнений произвольного порядка n имеет n действительных характеристик, ее следует называть

• модальной
• бифуркационной
• (Правильный ответ) гиперболической

Функции пространства Соболева являются

• функциями с бесконечным интегралом
• функциями с детерминированными функционалами
• (Правильный ответ) функциями с ограниченным интегралом

К разностным схемам, аппроксимирующим задачу Коши для линейного одномерного уравнения переноса, следует отнести

• схему полной разности
• (Правильный ответ) схему правого уголка
• схему конечной сетки

Наличие характеристик можно считать условием того, что

• система априорно-определенная
• (Правильный ответ) система имеет гиперболический тип
• система не определена

Если для дифференциальных задач справедлив принцип максимума, то

• для них невозможно построить строго устойчивые схемы
• для них не определяют строго устойчивые схемы
• (Правильный ответ) для них можно построить строго устойчивые схемы

Системы, в которых пассивная примесь может вступать в химические реакции, описываются

• структурным уравнением переноса
• (Правильный ответ) неоднородным уравнением переноса
• одномерным уравнением переноса

При вычислении скалярных произведений в проекционном методе Галеркина используют

• (Правильный ответ) самосопряженность линейного дифференциального оператора
• априорность инверсных детерминированных отношений подмножеств
• неординарность градиентного оператора аппроксимационной разности

Если разностные операторы не коммутативны схема Кранка — Никольсон имеет

• второй порядок аппроксимации по времени
• (Правильный ответ) первый порядок аппроксимации по времени
• третий порядок аппроксимации по времени

Базисные функции, обладающие достаточной гладкостью, называются

• (Правильный ответ) согласованными базисами
• терминальными базисами
• обобщенными базисами

Если в дифференциальной задаче имеется несколько законов сохранения, а при переходе к сеточному описанию все они получаются как следствие данной разностной схемы в результате алгебраических преобразований, то такая схема называется

• (Правильный ответ) полностью консервативной
• структурно консервативной
• частично консервативной

Где применяются одномерные квазилинейные уравнения теплопроводности?

• (Правильный ответ) в теории горения
• (Правильный ответ) в астрофизике
• (Правильный ответ) в физике плазмы

Гибрид метода прогонки и алгоритма Гаусса с выбором ведущего элемента называется

• метод фиксированных подобластей
• (Правильный ответ) метод немонотонной прогонки
• метод билинейной интерполяции

В случае неравных шагов по каждому направлению при рассмотрении двухмерного уравнения Пуассона в прямоугольной области

• запредельные точки не будут видны
• (Правильный ответ) полученные результаты не изменятся
• (Правильный ответ) запись уравнений станет более громоздкой

Лагранжиан системы, состоящей твердого нерастяжимого стержня, закрепленного в фиксированной точке, когда на другой конец стержня действует определенная сила, определяется

• (Правильный ответ) разностью кинетической энергии и потенциальной
• суммой потенциальной и кинетической энергий
• средним арифметическим потенциальной и кинетической энергий

Для чего используют потоки искусственной антидиффузии?

• для определения запредельных значений
• (Правильный ответ) для уменьшения потоков численной диффузии
• для снижения погрешности

Недостаток неявной схемы с нелинейностью на нижнем слое при численном решении нелинейного уравнения теплопроводности заключается

• в нестабильности контекстных отношений
• (Правильный ответ) в необходимости выполнения условия, ограничивающего шаг по времени
• в необходимости переопределять контекстные свойства гиперфункций

Нелинейная система уравнений одномерных движений идеальной сжимаемой жидкости в случае баротропных процессов включает в себя

• (Правильный ответ) уравнение Эйлера
• (Правильный ответ) условие баротропности
• (Правильный ответ) уравнение неразрывности

Самой простой моделью механики сплошной среды являются

• уравнения контекстной теплопроводности
• (Правильный ответ) уравнения газовой динамики
• уравнения детерминированных отношений в среде

Как записывается функция Грина для задачи w? = — g(s), w?(0) = w(1) = 0?

• G(w, ?)
• G(w, ?)
• (Правильный ответ) G(s, ?)

Какие из базисов применимы для метода Ритца?

• (Правильный ответ) базис из функций с финитным носителем
• (Правильный ответ) глобальный базис
• терминальный базис

Матрица соответствующей системы по методу Ритца при правильном выборе базиса является

• трехдиагональной
• единичной или билинейной
• (Правильный ответ) самосопряженной с диагональным преобладанием

Для методов двуциклического покомпонентного расщепления требование коммутативности разностных операторов

• не определено
• является базовым
• (Правильный ответ) отсутствует

Обычно разностные схемы исследуются на

• гиперскалярность
• (Правильный ответ) устойчивость
• (Правильный ответ) аппроксимацию

Если дифференциальный оператор и соответствующий ему разностный оператор можно представить в виде суммы операторов, каждый из которых включает производные лишь по одной пространственной переменной и разности лишь вдоль одного направления соответственно, то такие дифференциальные и разностные операторы называют

• терминально-неопределенными
• (Правильный ответ) локально-одномерными
• градиентно-локальными

Какие разновидности есть у линейного уравнения переноса?

• (Правильный ответ) одномерное уравнение переноса
• детерминированное уравнение переноса
• (Правильный ответ) неоднородное уравнение переноса

Аппроксимация уравнения Эйлера возможна

• с помощью метода конечных квадратов запредельных и граничных погрешностей
• системой инвертивных зависимостей
• (Правильный ответ) системой дифференциально-разностных соотношений

От чего может зависеть коэффициент теплопроводности?

• (Правильный ответ) от времени
• от аппроксимационных коэффициентов
• от интерполяционной разности

Если все неопределенные коэффициенты шаблона с неопределенными весовыми множителями отрицательные, то разностная схема

• априорная
• монотонная
• (Правильный ответ) не монотонная

Имеем уравнение Хопфа с начальным условием: u(x, 0)=ch-2(x). Могут ли характеристики такой функции пересекаться?

• нет, не могут
• это неизвестно
• (Правильный ответ) да, могут

Для эйлерова описания поведения среды расчетная сетка

• (Правильный ответ) будет неподвижной
• не определена
• отсутствует

Каждое решение разностного уравнения Лапласа достигает на границе сеточной области

• нулевого значения
• (Правильный ответ) минимального значения
• (Правильный ответ) максимального значения

Используется сеточный аналог вариационного принципа Гамильтона. Какая система уравнений получится в данном случае?

• динамичски-априорная
• (Правильный ответ) дифференциально-разностная
• статически-синхронная

Система уравнений произвольного порядка n имеет 2n/3 действительных характеристик. Можно ли назвать ее гиперболической?

• только в очень редких частных случаях
• да, можно
• (Правильный ответ) нет, нельзя