Линейная алгебра

Матрицу

будет иметь оператор:

• дифференцирования в пространстве в базисе
• (Правильный ответ) в пространстве в базисе из матричных единиц
• (A, B — фиксированные матрицы) в пространстве в базисе, состоящем из матричных единиц

Найти производную от det(A) по х, если

• x2(x+3)(x-5)
• (Правильный ответ) 5×4+8×3-5×2
• x2(x-3)(x+5)
• x4-2×3-15×2
• -5×4+8×3+5×2
• x4-2×3-15×2

Линейное преобразование в базисе имеет матрицу

. Как будет выглядеть матрица этого же преобразования в базисе: ?

• (Правильный ответ)

Найти производную от det(A) по х, если

• x2(x+3)(x-5)
• -5×4+8×3+5×2
• x2(x-3)(x+5)
• (Правильный ответ) 5×4+8×3-5×2
• x4-2×3-15×2
• x4-2×3-15×2

Выберите верные утверждения:

• (Правильный ответ) существуют такие А и B, что rank (AB)=rank (BA)
• всегда rank A=rank (ATA)
• для любой матрицы А найдется такая матрица I, что AI=A, IA=A, называемая единичной
• (Правильный ответ) из линейно зависимой системы векторов всегда можно выбрать несколько линейно независимых
• всегда rank(?A)=rank A

Базис ядра: будет иметь матрица:

• (Правильный ответ)

Какое собственное значение будет иметь матрица порядка n.

• (Правильный ответ)

Найти общее решение в зависимости от параметра

• (Правильный ответ)

Выберите не верные утверждения:

• (Правильный ответ) если для любых элементов x и y , то билинейная форма называется симметрической
• (Правильный ответ) если для каждого элемента x , то билинейная форма называется кососимметрической
• (Правильный ответ) элементы x и y модуля с билинейной формой называется ортогональной, если

Какое доказательство, из ниже переичсленных, доказывает, что для нормального оператора в унитарном пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов?

• (Правильный ответ) инвариантное подпространство для нормального оператора инвариантно и для сопряженного и ограничение нормального оператора на инвариантном подпространстве нормально. Поэтому, пространство можно разбивать в прямую ортогональную сумму инвариантных подпространств до тех пор, пока не придем к одномерным подпространствам.
• пусть . Тогда и . Следовательно, .
• для любой нормальной матрицы А существует унитарная матрица С такая, что диагональна. Именно, в качестве С можно взять матрицу преобразования от исходного базиса к ортонормированному базису из собственных векторов.

Если для любых элементов x и y , то билинейная форма называется:

• кососимметрической
• кимплектической
• (Правильный ответ) симметрической

Какое доказательство, из ниже перечисленных, доказывает теорему:»Для любого вектора существует единственная ортогональная проекция на подпространство W»?

• (Правильный ответ) Выберем в пространстве W ортонормированный базис . Рассмотрим вектор . Условие означает, что , т.е. . Выбрав такие числа , получим требуемый вектор .
• любой вектор можно представить в виде , где и . Кроме того, если , то . В самом деле, тогда и , поэтому . Следовательно, . Выберем в качестве базиса V объединение базисов Im P и Ker P. Вэтом базисе матрица оператора P имеет требуемый вид.
• если , то . состоит из векторов , т.е. . Аналогично .

Какой угол будет между векторами , ?

• (Правильный ответ)

• det(-A)=-det(A)
• (Правильный ответ) если столбец матрицы умножить на число, то детерминант умножится на то же самое число
• (Правильный ответ) если после перстановки столбцов матрицы детерминант не изменился, то матрица — вырожденная

Найти det A, если

• -4
• 4
• 6
• (Правильный ответ) -6
• -5
• 5

Какое ядро отображения будет иметь матрица

• (Правильный ответ) базис ядра:
• базис ядра:
• базис ядра:

Как будет выглядеть матрица X в уравнении

• (Правильный ответ)

Матрица

будет иметь оператор:

• поворота плоскости на угол в произвольном ортонормированном базисе
• в пространстве в базисе из матричных единиц
• (Правильный ответ) проектирования трехмерного пространства на координптную ось вектора параллельно координатной плоскости векторов и в базисе

Какое из утверждений верное?

• умножение матриц АB определено только в том случае, если количества элементов в матрицах совпадают
• (Правильный ответ) умножение матриц АB определено только в том случае, если количество строк в матрице А соответствует количеству столбцов в матрице B
• умножение матриц АB определено только в том случае, если матрица А имеет размерность m x n, а В — n x m

Какая система линейных уравнений, из ниже перечисленных, не имеет решений?

• (Правильный ответ)

Многочлены

называются:

• рангом — матрицы
• (Правильный ответ) инвариантными множителями — матрицы
• характеристическим многочленом матрицы А

Линейное преобразование в базисе имеет матрицу

Как будет выглядеть матрица в базисе ?

• (Правильный ответ)

Как называется оператор , если ?

• (Правильный ответ) ортогональным
• самосопряженным
• сопряженным линейному оператору

Из равенства следует, что , где k — степень . Приведенное выше доказательство, доказывает, что:

• (Правильный ответ) в пространстве линейный оператор имеет множество собственных значений
• если оператор имеет собственное значение , то одно из чисел и является собственным значением оператора
• если оператор А невырожденный, то операторы А и имеют одни и те же собственные векторы

Матрицы

и будет иметь оператор:

• (Правильный ответ) поворота трехмерного пространства на угол вокруг прямой, заданной в прямоугольной системе координат уравнениями , в базисе из единичных векторов осей координат
• (А, В — фиксированные матрицы в пространстве ) в базисе из матричных единиц
• дифференцирования в пространстве в базисе

Какие собственные значения будет иметь матрица

• (Правильный ответ)

Пусть — линейное преобразование пространства . Линейное подпространство называется инвариантным относительно , если:

• (Правильный ответ) для каждого вектора X из вектор Ax также принадлежит
• для любого и
• для любого

Какое скалярное произведение будет иметь произвольные векторы