МЕХАНИКА

Кинематика

ЗАДАЧИ

1.1. Компоненты скорости частицы изменяются со временем по законам: , , ,  где а и w — константы. Найти модули скорости ||  и ускорения, а также угол a между векторами  и . По какой траектории движется частица?

(||= а,  = аw, a=p/2 )

1.2. Зависимость координат движения частицы от времени имеет вид , , z=0, где а и w — константы.

а) определить радиус-вектор , скорость и ускорение  частицы, а также их модули;

б) найти уравнение траектории частицы.

(=a(coswt + sinwt); =a;

=aw (-sinwt +coswt); =aw;

= —aw² (coswt+sinwt). =aw²;

x²/a² + y²/a²=1).

1.3. Точка движется по  окружности радиусом R=4 м. Закон ее движения выражается уравнением S=A+Bt², где А=8 м, В=-2 м/с^2. Определить момент времени t, когда нормальное ускорение Wn точки равно 9 м/с². Найти модули скорости V, тангенциального Wt и полного W ускорений  точки в тот же момент времени t.

(t=1,5 с, V= 6 м/с, Wt = 4м/с², W=9,8м/с²).

1.4. Частица движется со скоростью  (а=1м/с²). Найти:

а) модуль скорости  частицы в момент времени t=1с;

б) ускорение частицы  и его модуль;

в) путь S, пройденный частицей с момента времени t₁=2 с до t₂=3 с;

г) какой характер имеет движение частицы? Почему?

(V= 5,4 м/с,  = а (2_х + 3_у+4_z), = 5,4 м/с², S=13,5 м).

1.5. Точка движется вдоль оси Х, причем координата изменяется по закону . Найти:

а) выражение для проекции на ось Х скорости  и ускорения  точки;

б) путь S, пройденный точкой за промежуток времени от =T/8 до=T/4.

(Vх = -(2p/ T) a sin(2p /T) t, Wx =- ( 2p /T)² a cos (2p/T) t,  S=0,707 a).

1.6. Радиус-вектор частицы изменяется со временем по закону

. Найти:

1. a) скоростьи ускорение частицы ;

б) модуль скорости в момент времени t=1 с;

в) приближенное значение пути  S, пройденное частицей за 11-ю секунду движения.

 ( а)=6t+2 (м/с), б)=6 (м/с²), в)=6,3 м/с, S=63м).

1.7. Тело брошено под углом a к горизонту и в начальный момент времени имеет скорость . Построить качественные зависимости Vх и Vу как функции от времени движения тела до момента падения. Определить радиус кривизны траектории в момент времени  t=t/4, где t- время движения до падения. Сопротивления движению нет.

(R=).

1.8. Тело в течение времени t движется с постоянной скоростью u₀. Затем скорость его линейно нарастает со временем так, что в момент времени 2t она равна 2u₀. Определить путь, пройденный телом за время t.  Cчитать что  t<t<2t.

                                                                                               (S=  + ).

1.9. Тoчка движется по криволинейной траектории с постоянным тангенциальным ускорением =0,5 м/с². Определить полное ускорение точки в момент времени t=5 с от начала движения, если радиус кривизны траектории в этот момент времени R=2 м.                                      (w=3,2 м/с²)

1.10. Начальное значение скорости равно

=1+3+5_, (м/с), конечное =2+4+6_, (м/с). Найти:

а) приращение скорости D;

б) модуль приращения скорости ;

в) приращение модуля скорости  .

( а) =1+1+1_,  б) =1,73 м/с, в) =1,57 м/с).

1.11. По дуге окружности радиусом R=10 м движется точка. В некоторый момент времени от начала движения ускорение точки =5,0 м/с²; вектор полного ускорения  образует в этот момент с вектором тангенциально ускорения угол a=30. С читая =const, найти закон изменения  =f(t).                                                                                                   (=7,5 t²).

1.12. Точка движется по дуге окружности радиусом R. Ее скорость зависит от пройденного пути S  по закону  V, где k – постоянная. Найти угол между вектором полного ускорения и вектором скорости в зависимости от S.                                                                        ().

1.13. Тело брошено под углом a=45° к горизонту с начальной скоростью V=30 м/с. Определить радиус кривизны траектории R в максимальной точке подъема тела и в точке его касания с землей. Качественно постройте зависимости кинетической Wk, потенциальной Wp, и полной W энергии тела как функции времени. Сопротивления движению не учитывать.                                                                             (R₁=45,9 м, R₂=161 м).

1.14. Материальная точка движется по окружности радиусом R. Ее тангенциальное ускорение изменяется по закону =kt, где   k>0. В какой момент времени t с начала движения модули нормального и тангенциального ускорения будут равны? Чему равно полное ускорение материальной точки в этот момент времени? Какой угловой путь j пройдет точка к этому моменту времени? Качественно изобразите закон изменения угловой скорости w как функцию времени.

( ; ;  j=0,67 рад).

1.15. Точка движется по окружности радиусом R = 30см с постоянным угловым ускорением. Определить тангенциальное ускорение точки, если известно, что с некоторого момента за интервал времени t = 4 с она совершила три оборота и в конце третьего оборота ее нормальное ускорение= 2,7 м/с². Определить угловую w₀ и линейную v₀ скорости в начале указанного интервала времени. Построить графики зависимости модулей ускорения и угловой скорости от времени на интервале движения: =f(t);

w=f(t).

(w₀ = 6,44 рад/с; v₀ = 1,93 м/c)

Динамика

ЗАДАЧИ

1.16. Система состоит из частицы 1 массой 0,1 г, частицы 2 массой 0,2 г и частицы 3 массой 0,3 г. Частица 1 помещается в точке с координатами (1,2,3), частица 2 — в точке с координатами (2,3,1), частица 3 — в точке с координатами (3,1,2) (значения координат даны в метрах). Найти радиус-вектор  центра масс системы и его модуль.

(=, M= 3,4 м).

1.17. Тело брошено сначала под углом a₁ к горизонту со скоростью , а затем под углом a₂ со скоростью (a₁>a₂). В начальный момент движения V1x=V2x Сравнить в указанных случаях радиусы кривизны траектории в высшей точке подъема тела. Построить качественно зависимости проекции импульса  р₁у и р₂у как функцию времени движения тела. Сопротивления движению  нет.

1.18. Брусок массой m₁=1 кг покоится на бруске массой    m₂= 2 кг. На нижний брусок начала действовать горизонтальная сила F=3t. В какой момент времени t верхний брусок начнет проскальзывать? Коэффициент трения между брусками m=0,1. Трение между нижним бруском и опорой пренебрежимо мало.

                            (>= 0,98 c.)

1.19. На  горизонтальной доске лежит брусок массой m. Один конец доски поднимается. Изобразите график зависимости силы трения, действующей на брусок, от угла a наклона доски в интервале значений  . Коэффициент трения между доской и бруском m₀ = 0,25.

1.20. На горизонтальной плоскости лежит доска длиной L и массой m₁. Тело массой m₂ лежит посередине доски. Коэффициент трения между доской и плоскостью m₁,  между доской и телом m₂. Какую силу в горизонтальном направлении надо приложить к доске, чтобы тело соскользнуло с нее? За какое время t тело соскользнет, если к доске приложена сила  F₀ ?

  (F>g(µ₁+µ₂)(m₁+m₂), t= ).

1.21. Брусок движется вдоль горизонтальной поверхности под действием постоянной по величине силы, направленной под углом a к горизонту. Коэффициент трения между бруском и поверхностью равен 0,25. При  каком значении угла a ускорение бруска вдоль поверхности будет максимальным?

                                                          (a=14°).

Вращательное движение. Моменты инерции, силы, импульса

ЗАДАЧИ

Сфера радиусом  R=2,0 м равномерно вращается вокруг вертикальной оси симметрии, делая 30 об./мин. Внутри сферы находится шарик. Найти высоту h, соответствующую положению равновесия шарика. При какой наименьшей угловой скорости радиус вращения шарика будет 0,9 R? Шарик считать материальной точкой.

(h=1,0 м).

1.23. Найти зависимость ускорения силы тяжести Земли над полюсом от высоты положения тела над уровнем моря h. Построить качественно эту зависимость на графике g=f(h).

1.24. Электровоз массой m=184·10³ кг движется вдоль меридиана со скоростью u=20 м/с (72 км/ч) на широте  j=45°. Определить горизонтальную составляющую силы F, с которой электровоз давит на рельсы.

(0,38 кН).

1.25. Тело участвует в двух вращательных движениях, происходящих со скоростями  и  (a= 1,0 рад/с³). Определить:

а) на какой угол j повернется тело за первые 3,0 с;

б) какой угол составляет ось вращения, вокруг которой происходит поворот, с осью Х.

(  а) j=20 рад, б) a=63° ).

1.26. Тело вращается вокруг неподвижной оси так, что угол его поворота меняется в зависимости от времени t по закону , где а>0, b>0. Найти момент времени t, в который тело остановится, а также число оборотов N тела до остановки.                          (;  ).

1.27. Материальная точка движется по окружности радиусом R со скоростью u=kt, где k>0. Найдите зависимость от времени модуля полного ускорения точки; постройте графики зависимости тангенциального и нормального ускорений от времени.                       ().

1.28. Определить полное ускорение а в момент времени t=3 c точки, находящейся на ободе колеса радиусом R=0,5 м, вращающегося согласно уравнению  j=Аt+Вt³, где А=2 рад/с, В=0,2 рад/c³. Изобразите графики нормального и полного ускорений аn=f(t) и a=f(t) на интервале 0<t<3с.

(a=27,4 м/с²).

1.29. Точка движется по окружности с постоянным тангенциальным ускорением. Через некоторый промежуток времени t после начала движения, угол между полным ускорением и радиусом окружности равен 45°. Чему равно угловое ускорение точки?                                                   (e).

1.30. Материальная точка (частица) массы m брошена под углом a к горизонту с начальной скоростью  . Траектория полета частицы лежит в плоскости  Х, Y. Ось Z направлена «на нас».

 

Найти зависимость от времени:

а) момента силы, действующего на частицу;

б) момента импульса частицы  .

 ( а);  б) ).

1.31. Две материальные точки массами m₁ и m₂ соединены жестким невесомым стрежнем длиной L. Найти положение центра масс системы Хс и момент инерции I этой системы относительно перпендикулярной к стержню оси, проходящей через центр масс.

().

1.32. Тело массой m=0,1 кг брошено с некоторой высоты в горизонтальном направлении со скоростью  V₀=20 м/с. Найти модуль приращения момента импульса тела  относительно точки бросания за первые  t=5 с.

                                                                               (=2,5 ∙10² кгм²/с).

1.33. Сила с компонентами (3,4,5) (Н) приложена к точке с координатами (4,2,3) (м). Найти:

а) момент силы  относительно начала координат;

б) модуль вектора ;

в) проекцию на ось  Z  момента силы Мz.

( (Н×м) ,=15 Н×м).

1.34. Найти момент инерции однородной прямоугольной пластинки массой m, длины а и ширины b относительно перпендикулярной к ней оси, проходящей через одну из вершин пластинки.                 ().

1.35. Цилиндр, расположенный горизонтально, может вращаться вокруг оси, совпадающей с осью цилиндра. Масса цилиндра m₁=12 кг.  На цилиндр намотан шнур, к которому привязали гирю массой      m₂=1 кг. С каким ускорением будет опускаться гиря? Какова сила натяжения шнура во время движения гири?

 (w=1,4 м/с²; T=8,4 Н).

1.36. На обод маховика диаметром D=60 cм намотан шнур, к концу которого привязан груз массой  m=2,0 кг. Определить момент инерции маховика, если он, вращаясь равноускоренно под действием силы тяжести груза, за время t=3,0 с  приобрел угловую скорость w=9,0 рад/с.

(T=1,8 кг×м²).

1.37. Тонкий обруч радиусом R раскрутили вокруг его оси до угловой скорости и положили (опустили) на горизонтальный стол. Через какое время t обруч остановится, если коэффициент  трения между столом и обручем равен m? Сколько оборотов N сделает обруч до полной остановки?

(; ).

1.38. С какой угловой скоростью должен вращаться сосуд в виде усеченного конуса, чтобы шарик, лежащий на его дне, выкатился из него? Диаметр верхнего основания равен d. Стенки сосуда наклонены к горизонту под углом a.                                                                      ().

1.39. Из сплошного однородного цилиндра радиусом R сделали полый, удалив внутреннюю часть радиусом R/2 от оси симметрии. Во сколько раз изменится момент инерции тела относительно указанной оси?

().

1.40. Из сплошного однородного цилиндра сделали полый, удалив половину его массы. Как изменится момент инерции J цилиндра относительно его оси и во сколько раз? Как и во сколько раз изменится момент импульса указанных цилиндров, если они вращаются с одинаковой угловой скоростью?

().

1.41. В сплошном однородном диске радиусом R просверлили сквозное отверстие радиусом R/2 от оси симметрии. Во сколько раз изменится момент инерции тела относительно указанной оси?

 ().

1.42. Два однородных цилиндра с одинаковыми высотами h и равными массами m вращаются относительно своих осей симметрии. Соотношение плотностей материалов цилиндров r₁=(3/4)r₂. Сравнить вращающие моменты сил, если угловые ускорения  цилиндров одинаковы, а моменты сил трения   Мтр равны.

().

1.43. Грузик массой 5,0 г, привязанный к нити длиной l=50 см, вращается вокруг  вертикальной  оси и описывает окружность в горизонтальной плоскости. Какой угол j образует нить с вертикалью, если частота вращения  n=1 c^-1. Чему равен модуль проекции момента импульса на ось вращения?

(j=60°;  Lz = 5,9∙10^-2 ).

 

 

Законы сохранения. Работа. Энергия

ЗАДАЧИ

 

1.44. Платформа в виде диска вращается по инерции около вертикальной оси с частотой n₁=14 мин^-1. На краю платформы стоит человек. Когда человек перешел в центр платформы, частота возросла до   n₂=25 мин^-1. Масса человека m=70 кг. Определить массу платформы. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

(178 кг).

1.45. Человек массой m₀=60 кг находится на неподвижной платформе массой m=100 кг. С какой частотой n  будет вращаться платформа, если человек будет двигаться по окружности радиусом r=5 м вокруг оси вращения?  Скорость движения человека относительно платформы  V₀=4 км/ч. Радиус платформы R=10 м. Считать платформу однородным диском, а человека — точечной массой.

 (n=0,49 об./мин).

1.46. Шар скатывается с наклонной плоскости высотой h=90 см. Какую линейную скорость будет иметь шар в тот момент, когда он скатится с наклонной плоскости? Момент инерции шара  J=0,4 m×R².

 (3,55м/c).

1.47. Два шара движутся навстречу друг другу вдоль оси Х. Масса первого шара m₁=0,20 кг, масса второго шара m₂=0,30 кг. До столкновения проекции скоростей шаров на ось равны V1х=1м/с, V2х=-1м/с. Найти проекции скоростей шаров 1х и 2х после центрального абсолютного упругого соударения.

(1x=-1,4 м/c ; 2x=0,60 м/c).

1.48. Тонкий однородный стержень длиной L может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через конец стержня  перпендикулярно ему. Стержень отклонили на 90° от положения равновесия и отпустили. Определить скорость V нижнего конца стержня в момент прохождения равновесия.

 (V=).

1.49. Тонкий однородный стержень длиной l и массой m может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. Стержень устанавливают горизонтально и отпускают. Пренебрегая трением, определить угловую скорость стержня в момент прохождения им положения равновесия. Построить график зависимости углового ускорения стержня от угла между стержнем и горизонтом.

(w=).

1.50. Сплошной однородный шар скатывается по наклонной плоскости длиной 5 м. Угол наклона плоскости к горизонту a=30°. Определить скорость шара в конце наклонной плоскости, время движения шара до горизонтальной поверхности и качественно найти зависимость кинетической энергии шара от времени. Потерями энергии пренебречь. Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр масс, J₀=mR² .

  (V=5,9  м/с; t=1,7 c)

1.51. Сплошной цилиндр катится по горизонтальной поверхности в течение времени t=3 c и останавливается, пройдя расстояние 9 м. Определить коэффициент трения m, считая его постоянным. Построить качественно зависимость кинетической энергии тела как функцию времени движения.

         (m=0,31).

1.52. Вал массой m=50 кг и радиусом R=5 см вращался с частотой   n=10 об/с. К его цилиндрической поверхности прижали тормозную колодку с силой  F=30 Н, и через 8 с после начала торможения вал остановился. Определить коэффициент трения m, считая его постоянным. Построить график зависимости угловой скорости и углового ускорения вала как функцию времени на интервале торможения.

   (m=0,33).

1.53.  Шар и сплошной диск имеют одинаковые массы и катятся без проскальзывания по горизонтальной поверхности с одинаковыми постоянными скоростями. Кинетическая энергия шара W₁=70 Дж. Определить кинетическую энергию диска W₂. Найти отношение проекций момента импульса тел Lz₁/Lz₂ на мгновенную ось вращения, если R₁/R₂=0,7.

                                                                      (W₂=75 Дж;  =0,56).

1.54. Тело массой М подвешено на нити длиной l. В тело попадает пуля массой m и застревает в нем, нить после этого отклоняется на угол a. Найти скорость пули V. Считать, что вся масса тела М сосредоточена на расстоянии l от точки подвеса.

(V = ).

1.55. Сколько времени будет скатываться цилиндр с наклонной плоскости длиной l=2 м и высотой  h=0,1 м, если считать что проскальзывания нет? Качественно постройте зависимость кинетической Wk и потенциальной Wп энергии цилиндра как функцию времени.

                                                                                                       (t=3,5c).

1.56. Два шара массами m₁=10 кг и m₂=15 кг подвешены на нитях длиной l=2 м так, что шары соприкасаются между собой. Меньший шар был отклонен на угол  j=60° и отпущен. Определить высоту, на которую поднимутся оба шара после соударения. Соударение шаров считать неупругим.

 (h=0,16 м).

1.57. В цилиндр массой m₁=3 кг и радиусом R=10 см, покоящийся на плоскости, попадает пуля массой m₂=9 г, летящая со скоростью u₀=60 м/с. Пуля летит параллельно плоскости на высоте h=0,12 м от нее и перпендикулярно образующей цилиндра. Считая удар абсолютно неупругим, найдите  линейную скорость оси цилиндра, угловую скорость цилиндра. Проскальзыванием цилиндра пренебречь.

(рад/с, V=0,14 м/с).

1.58. Тела с массами m₁ и m₂ связаны невесомой и нерастяжимой нитью, которая переброшена через блок массой m, установленный на краю стола. Тело m₁ находится на поверхности стола в закрепленном состоянии. Тело m₂ свободно висит. В момент времени t=0 тело m₁ освободили, и вся система пришла в движение. Считая коэффициент трения между столом и телом m₁ равным m, пренебрегая скольжением нити по блоку и трением в оси блока, найти работу сил трения за первые t секунд после начала движения. Блок считать однородным диском.

().

1.59. Стальной шарик массой m=8 г, летящий горизонтально со скоростью 600 м/с, попадает в брусок массой M=4m, прикрепленный к стенке пружиной с жесткостью  k=24 кН/м. Считая, что траектория шарика перпендикулярна поверхности бруска и совпадает с осью пружины, определить величину максимального сжатия пружины, если соударение было:                   а) абсолютно неупругим;

б) абсолютно упругим.

Записать закон изменения деформации пружины как функцию от времени для случаев а) и б).

(xm=15 см;  xm=28 см).

1.60. Поршень, закрепленный на пружине жесткостью k=10 кН/м, после застревания в нем горизонтально летевшей со скоростью V=520 м/с пули массой 20 г сместился на х=8 см. Определить массу поршня М, если сила трения его о стенки цилиндра составляет 900 Н.

         (M=0,5 кг).

1.61. Нить с подвешенным на ней грузом отклонили  на угол a и

отпустили. На какой угол b отклонится нить с грузом, если при своем движении будет задержана штифтом, поставленным по вертикали по середине нити? Построить качественную зависимость скорости груза от времени, полагая, что потеря энергии в системе не происходит.

().

1.62. Хоккейная шайба, имея начальную скорость V=5 м/с, проходит до удара о борт площадки путь S=10 м. Коэффициент трения шайбы о лед 0,1. Считая удар о борт абсолютно упругим и пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, какой путь пройдет шайба после удара. Построить график зависимости Vx= f(x), полагая положительное направление оси ОХ к борту.

(S₁=2,7 м).

1.63. Человек стоит на неподвижной тележке и бросает горизонтально камень массой m₁=2 кг со скоростью V=8 м/с. Определить, какую работу А совершает при броске человек, если масса тележки с человеком m₂=140 кг. Постройте график зависимости работы  A=f(m₂), если m₂ — величина переменная.

(А=63,1 Дж).

1.64. Гимнаст «крутит солнце» на перекладине. Считая, что вся масса гимнаста m сосредоточена в его центре масс и скорость гимнаста в верхней точке равна нулю, определить силу, действующую на руки гимнаста в низшей точке. Построить график зависимости  вертикальной составляющей скорости гимнаста от времени Vy=f(t). За начало отсчета принять верхнее положение гимнаста. Трением пренебречь.

(F=5mg).

Релятивистская механика. Механика жидкости и газа

ЗАДАЧИ

1.65.  За промежуток времени  Dt=1,0 c, отсчитанный по часам некоторой системы отсчета K, частица, двигаясь прямолинейно и равномерно, переместилась из начала координат системы K в точку с координатами  X=Y=Z=1,5.10⁸ м. Найти промежуток собственного времени Dt₀, за который произошло это перемещение.

(=0,5 с).

1.66. Относительно К-системы отсчета летит куб со скоростью V=V_х. Ребро куба равно а. Ось Х параллельна одному из ребер куба. Чему равен его объем V в К-системе отсчета? Во сколько раз изменится объем тела V по сравнению с объемом V относительно неподвижной к кубу системы отсчета?  Годится ли полученный ответ для тела произвольной формы?

1.67. Как изменится плотность стального кубика с точки зрения наблюдателя, движущегося вдоль одного из ребер кубика со скоростью  по сравнению с плотностью относительно наблюдателя, покоящегося по отношению к кубику?

1.68. Электрон движется со скоростью, равной 0,6 скорости света. Определите импульс и полную энергию электрона.

(р=20,5 10^-23 ; W=10^-13 Дж).

1.69. Две частицы, покоящиеся в К’— системе отсчета на расстоянии Dl друг от друга по оси X‘, одновременно распадаются. Одновременным ли будет распад частиц для наблюдателя в К-системе отсчета, относительно которой частицы двигались со скоростью ?

1.70. Определить периметр П квадрата со стороной а , движущегося со скоростью    вдоль одной из своих сторон, где С— скорость света.

1.71. В широкой части горизонтально расположенной трубы течет нефть со скоростью =2 м/с. Определить скорость течения нефти в узкой части трубы, если разность давлений в широкой и узкой частях трубы Dр=50 мм рт.ст. Плотность нефти r=0,85·10³ кг/м³.                      (=4,4 м/с).

Таблица вариантов задач к разделу «Механика»

Вариант	Номера задач
1	1.1	1.16	1.22	1.44	1.65
2	1.2	1.17	1.23	1.45	1.66
3	1.3	1.18	1.25	1.46	1.67
4	1.4	1.19	1.26	1.47	1.68
5	1.5	1.20	1.27	1.48	1.69
6	1.6	1.21	1.28	1.49	1.70
7	1.7	1.16	1.29	1.50	1.71
8	1.8	1.17	1.30	1.51	1.71
9	1.9	1.18	1.31	1.52	1.65
10	1.10	1.19	1.32	1.53	1.66
11	1.11	1.20	1.33	1.54	1.67
12	1.12	1.21	1.34	1.55	1.68
13	1.13	1.16	1.35	1.56	1.69
14	1.14	1.17	1.36	1.57	1.70
15	1.15	1.18	1.37	1.58	1.71
16	1.1	1.19	1.38	1.59	1.71
17	1.2	1.20	1.39	1.60	1.65
18	1.3	1.21	1.40	1.61	1.66
19	1.4	1.16	1.41	1.62	1.67
20	1.5	1.17	1.42	1.63	1.68
21	1.6	1.18	1.43	1.64	1.69
22	1.7	1.19	1.22	1.45	1.70
23	1.8	1.20	1.23	1.46	1.71
24	1.9	1.21	1.25	1.47	1.71
25	1.10	1.16	1.26	1.48	1.65
26	1.11	1.17	1.27	1.49	1.66
27	1.12	1.18	1.28	1.50	1.67
28	1.13	1.19	1.29	1.51	1.68
29	1.14	1.20	1.30	1.52	1.69
30	1.15	1.21	1.31	1.53	1.70