Лабораторная работа по дисциплине «Физика» для ВлГУ

Лабораторная работа № 5-5

Определение длины световой волны при помощи дифракционной решетки

Цель работы: изучение явления дифракции света и ознакомление с одним из методов определения длины световой волны при помощи дифракционной решетки.

Оборудование: источник света, дифракционная решетка, экран с миллиметровым масштабом, измерительная линейка, набор светофильтров.

Введение

Огибание световой волной границ непрозрачных тел за счет интерференционного перераспределения энергии по различным направлениям называется дифракцией световой волны. Рассмотрим сначала дифракцию на одной щели.

Если на щель шириной а перпендикулярно ей падает параллельный пучок света (рис. 1), то напряженность E_φ, которую будут иметь дифрагированные электромагнитные волны длиной λ, собираемые линзой в точке M_φ на экране ММ, можно рассчитать следующим образом:

,                                    (1)

где E₀ – амплитуда напряженности электрического поля в направлении φ=0, k = 2π/λ – волновое число, R = CMφ. Здесь учтено, что линза L не вносит дополнительной разности фаз (таутохронизм). После интегрирования из (1) получим:

                               ,                                   (2)

где . Амплитуда колебания (2)

.                  (3)

Минимум колебаний в результате интерференции дифрагированных лучей в направлении φ определяется согласно (3) условием

                      (m=1,2 ,…).                     (4)

В направлении φ = 0 наблюдается максимум колебаний, для которого согласно уравнению (3) . График распределения интенсивности  представлен на рис. 2 жирной линией.

Теперь рассмотрим дифракцию параллельного пучка лучей, которые падают нормально к плоскости дифракционной решетки. Простейшая дифракционная решетка представляет собой прозрачную пластинку, на которой нанесены параллельные друг другу царапины и оставлены узкие неповрежденные полоски. Процарапанные места непрозрачны для света, и неповрежденные полоски образуют систему параллельных щелей.

Принято называть периодом решетки или постоянной решетки сумму размеров прозрачной a и непрозрачной b полос: d = a + b (рис. 3). В силу таутохронизма линзы фазы колебаний соответствующих лучей, например 1 и 2 (рис. 3), проходящих через ближайшие щели, в точке M_j на экране MM будут отличаться друг от друга только на величину

   a = (2p/l) d sinj .                                    (5)

Общую напряженность в точке M_j  на экране MM, которая создается волнами, идущими в направлении j, можно вычислить через напряженность отдельных волн ,,…,,  проходящих сквозь щели

 = ++…+,              (6)

где N – число щелей. Величины ,,…, могут быть определены из выражения (2). Поскольку направления колебаний векторов  одинаковы, то векторную сумму (6) можно заменить арифметической. Учитывая, что для одинаковых щелей амплитуды векторов напряженности ,,…, будут равны одной и той же величине , вместо (6) можно написать:

E_jN = E_j0{cos(ωt – a₀) + cos(ωt – a₀ – a) + cos(ωt – a₀ – 2a) +…+ cos[ωt – a₀ – (N – 1)a]}. (7)

Удобно найти сумму, входящую в выражение (7), графическим методом, основанным на возможности представления гармонического колебания с помощью вращающегося вектора амплитуды. Для этого расположим модули векторов ,,…,, как показано на рис. 4. Направления ближайших отрезков отличаются друг от друга на угол a, определяемый соотношением (5). Этим учитывается различие в начальных фазах колебаний.

Из рис. 4 легко видеть, что амплитуда результирующего колебания будет определяться отрезком AN = 2R sin(Na/2) , а E_j0 = E_i = 2R sin(a/2). Поэтому

.             (8)

С учетом соотношений (3) и (5) из (8) получим выражение для амплитуды напряженности электрического поля световой волны, которая после дифракции на решетке распространяется в направлении j,

. (9)

Из полученного результата (9) можно сделать выводы:

1. Распределение интенсивности светового потока при дифракции на решетке определяется произведением двух функций

.      и     .

2. Главные минимумы определяются из условия

, т.е.     (m = 1,2,…),

которое справедливо для любого количества щелей.

3. Главные максимумы определяются из условия

, т.е.   (m = 0,1,2,…).                  (10)

4. Дополнительные минимумы найдем из условия

, т.е.       (m = 1,2,…, m ¹ N).

Легко видеть, что световой поток в результате дифракции перераспределяется в основном вблизи направлений, соответствующих главным максимумам. Распределение интенсивности света I = ^. приведено на рис. 2. Как уже было отмечено, функция  была изображена жирной линией, функция  показана штриховой линией.

Если источник света испускает волны различных длин, то в результате дифракции на экране появятся освещенные полосы, окрашенные в различные цвета (максимумы света), так как согласно (10) направление главного максимума зависит от длины волны. Другими словами, дифракционная решетка представляет собой спектральный прибор.

Соотношение (10) является основной расчетной формулой для вычисления длин световых волн при помощи дифракционной решетки и называется формулой дифракционной решетки. При известной длине световой волны эта формула дает возможность определить постоянную дифракционной решетки d. Целое число m в формуле (10) называется порядком спектра и представляет собой номер спектра по отношению к центральной нулевой полосе.

Метод, применяемый в данной работе, заключается в том, что дифракционный спектр рассматривается без помощи линзы непосредственно на экране, находящемся на большом расстоянии от решетки (рис. 5).

При большом расстоянии между решеткой и экраном лучи, приходящие в точку M_j  из разных участков решетки, становятся почти параллельными, и поэтому условия дифракционных максимумов и минимумов могут реализоваться на экране без помощи собирающей линзы.

Схема установки приведена на рис. 6. RR – дифракционная решетка, на которую падает параллельный пучок лучей из осветительной системы S;     l – расстояние от дифракционной решетки до экрана MM, x_m  – расстояние между средними точками полос одного и того же цвета для спектров 1-го, 2-го и т.д. порядков.

Для определения длины волны l или постоянной решетки  в формуле (10) необходимо знать sin j. Так как x_m << l , то sin j » tg j = x_m / 2l                             (см. рис. 6). Представляя значения sin j  в (10), получим:

.                                       (11)

 

Порядок выполнения работы

1. Включить осветительную систему. Если в качестве источника используется лазер, то его включает преподаватель.
2. Установить экран так, чтобы на нем получилось четкое изображение центральной полосы и спектров 1-го и 2-го порядков.
3. Измерить расстояние от экрана до дифракционной решетки.
4. Измерить на экране расстояние между серединами освещенных полос определенного цвета (по указанию преподавателя) x₁ спектра 1-го порядка.
5. Аналогично определить расстояние x₂ в спектре 2-го порядка.
6. Полученные значения l и x_m подставить в формулу (11) и вычислить длину световой волны или постоянную дифракционной решетки по указанию преподавателя.
7. Вычислить погрешность.

Контрольные вопросы

1. Что называется дифракцией света?
2. Как происходит дифракция на одной щели?
3. Как перераспределяется поток световых волн на дифракционной решетке?
4. Как изменяется дифракционная картина от многих щелей по сравнению с дифракцией от одной щели?
5. Каким образом можно определить длину световой волны с помощью дифракционной решетки?

Список рекомендуемой литературы

1. Савельев И.В. Курс общей физики: В 3 т. Т. 2. – М.: Наука, 1978. – 480 с.
2. Ландсберг Г.С. Оптика. – М.: Наука, 1976. – 928 с.