Практическое задание по дисциплине «Методы оптимальных управленческих решений» для МИСиС

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №8. ФОРМИРОВАНИЕ  ОПТИМАЛЬНОГО  ПОРТФЕЛЯ  АКЦИЙ С ИПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРИНЦИПА ПАРЕТО В отличие от задач принятия решений по скалярному критерию, результатом которых является оптимальная (с точностью до предпосылок и допущений модели) стратегия (управление), в задачах с векторным критерием оказывается невозможно с абсолютной уверенностью утверждать, что то или иное решение, действительно (объективно) оптимально. Одно из решений может превосходить другое по одним критериям и уступать ему по другим. Сказать, какое из двух решений в указанных условиях объективно лучше другого, не представляется возможным. Таким образом, сложность проблемы принятия решений по векторному критерию даже в условиях определенности связана не столько с вычислительными трудностями, сколько с концептуальной обоснованностью выбора оптимального решения. Невозможно строго математически доказать, что выбранное решение наилучшее, — любое решение из числа недоминируемых, то есть неулучшаемых одновременно по всем частным критериям, может оказаться наилучшим для конкретного ЛПР в конкретных условиях. С той же точки зрения не имеет смысла говорить о наилучшем решении вообще. Это может считаться аксиомой обоснования решений по нескольким критериям. Сравнение альтернатив по векторному критерию осуществляются по следующему правилу: всякая альтернатива не хуже любой другой, если для нее значение векторного критерия не менее предпочтительно, чем значение критерия другой альтернативы, то есть: где  — альтернативы;  — векторный критерий;  — символ отношения нестрогого предпочтения. Предположим, что множественность критериев связана с наличием нескольких сторон, заинтересованных в разрешении проблемной ситуации. Каждая сторона стремится найти и принять решение, при котором ее показатель эффективности (целевая функция) был бы наибольшим. Очевидно, величина показателя эффективности каждой стороны зависит от решений всех остальных сторон. Поэтому наиболее эффективные для одной стороны решения не являются таковыми для других. В связи с этим, стремление каждой стороны добиваться наибольшей эффективности принимаемых ею решений носит конфликтный характер и сама формулировка того, какое решение является приемлемым, хорошим или наилучшим (оптимальным), проблематична. Рассмотрим проблемную ситуацию, решения которой оцениваются по некоторой совокупности показателей  (под может пониматься, например, целевая функция, описывающая какую-либо характеристику производственного процесса, показатель функционирования предприятия и т.п.). Для наглядности можно представлять, что в выборе решения участвуют  сторон, каждая из которых заинтересована в максимизации соответствующего (“своего”) показателя. При этом -я сторона может выбрать любое допустимое для нее решение . Чрезвычайно важно, что решение, выбранное этой стороной, влияет на эффективность всех остальных. Это означает, что показатель эффективности любой стороны зависит от совокупности допустимых решений  всех сторон, т.е. . Решение  стороны  предпочтительнее ее решения , если: На основании вышесказанного (учитывая наличие  сторон, самостоятельно выбирающих свои решения), можно сформулировать принцип единогласия, известный как принцип оптимальности Парето: Если для всех сторон допустимые решения  предпочтительнее решений , то последние не будут приняты (единогласно отвергнуты). Как правило, на практике совокупность решений оказывается неединственной и образует некоторое множество    решений, оптимальных по Парето. Любой набор решений из этого множества не может быть улучшен сразу по всем показателям . В силу этого решения, оптимальные по Парето, называются также неулучшаемыми. Следует отметить, что задачи, в которых имеется единственная совокупность неулучшаемых решений, встречаются исключительно редко. Любое решение из множества является неулучшаемым. Изменением этого решения невозможно добиться увеличения какого-либо показателя эффективности, не уменьшая при этом хотя бы одного из остальных. Выбор конкретного решения из множества оптимальных по Парето может быть осуществлен лишь на основе компромисса на основе переговоров ЛПР всех заинтересованных сторон. Хотя до сих пор мы считали, что в выборе решения участвуют  различных сторон, рассмотренные понятия и вся формулировка в целом совершенно аналогичны и в том случае, когда выбор решения  осуществляет одна сторона, руководствующаяся не единственным, а некоторой совокупностью  показателей эффективности. Принятие какого-либо конкретного решения  из множества Парето является при этом прерогативой исключительно ЛПР и осуществляется, как правило, на основе его субъективных предпочтений. В предлагаемой ниже вероятностной модели формирования оптимального портфеля акций множество Парето — оптимальных (недоминируемых) решений формируется в координатах математического ожидания М (средней доходности) – среднеквадратического отклонения σ (риска), т. е. выше доходность, ниже риск. Окончательное решение принимает ЛПР на основе какого-либо объединенного критерия. Предприниматель  планирует  в  начале  года  инвестировать 10 у.е. на  формирование пакета  акций  трех  компаний К₁, К₂, К₃.  Цена  одной  акции  3,  2, 5  у.е.,  соответственно. В конце  года  рынок  может  оказаться  в  одном  из  состояний: S₁ (вероятность 0,02V + 0,1) или S₂ (вероятность 0,9 — 0,02V). Ожидаемые  дивиденды (в %) таковы. Требуется  сформировать  оптимальный  пакет  акций,  используя  принцип  Парето.