Задача для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

6. Численное решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) первого порядка , (6.1) где и . Теорема 1. Если функция непрерывно дифференцируема раз по переменным на двумерной замкнутой области , , то всякое решение уравнения (6.1), расположенное в , раз непре-рывно дифференцируемо по . Теорема 1 позволяет судить о гладкости решения (6.1). Пусть — прямоугольник. Задача Коши. Интегрирование уравнения (6.1) с начальным условием , (6.2) называется задачей Коши. Предположим и — решение задачи Коши (6.1), (6.2) (6.3) Единственность решения задачи (6.1), (6.2) вытекает из условия теоремы 1. то (6.4) . (6.5) Приближённое решение (6.1), (6.2) будем искать на множестве точек отрезка , которое называется сеткой. Выберем равномерную сетку где , , — натуральное число. Всякой не-прерывной функции можно поставить в соответствие сеточную функ-цию , например Решение на определено, в частности, и на сетке , так как . Под будем подразумевать норму сеточной функции, совпадающей на с Лемма 1. Пусть , . (6.6) Тогда при справедливо . (6.7) Доказательство: при , Пусть (6.7) верно при , то в соответствии с (6.6) имеем в этом выражении последнее неравенство следует из разложения в ряд Тейлора . Отсюда по индукции следует, что это верно и для . Метод Эйлера. Если приближённое решение уравнения (6.1), то можно положить , или тогда приближённое решение задачи Коши и (6.1), (6.2) в сетке происхо-дит по формулам , (6.8) погрешность округлений, в том числе погрешность вычисления значений Пусть приближённое решение тоже находится в , то есть (6.9) Переход от геометрически означает при перемеще-ние осуществляется по касательной в точке к интегральной кривой — уравнения (6.1), проходящей через эту точку на шаг по оси . На следующем шаге перемещение при происходит по касатель-ной к другой интегральной кривой через точку и т.д. Рис. 6.1 Как видно из рис. 6.1, решение задачи Коши по методу Эйлера дает ре-шение, не совпадающей ни с одной из интегральных кривых, и является лома-нной линией, совпадающей на каждом шаге с касательной к соответствующей интегральной кривой. Оценка точности решения методом Эйлера Начальная точка , где . Пусть погрешность округлений удовлетворяет условию , . (6.10) Введём обозначение — погрешность приближённого решения. Обозначим для формулы (6.5) . (6.11) Будем предполагать . Для точного решения , задачи (6.1), (6.2) согласно формуле Тей-лора имеем: (6.12) где . Учитывая формулу конечных приращений Лагранжа и вычитая (6.12) — (6.8) имеем , . Отсюда, учитывая (6.4), (6.5), (6.10), (6.11) находим , где из (6.5) и (6.11) имеем или (6.13) где . По Лемме 1 имеем (если , то ), тогда при имеем . (6.14) Т.е. формулой (6.14) оценивается погрешность приближенного решения зада-чи Коши (6.1), (6.2) методом Эйлера. Выводы. При отсутствии погрешностей округлений локальная погреш-ность метода Эйлера, то есть погрешность на одном шаге , возникающая за счёт перемещения по касательной к интегральной кривой, проходящей через ( , ), а не по самой интегральной кривой, есть величина второго порядка точности что следует из (6.12). Глобальная погрешность, то есть мак-симальная погрешность решения на согласно (6.14) — есть величина первого порядка точности . То есть на единицу по порядку хуже, чем ло-кальная погрешность. Метод Эйлера является методом первого порядка точ-ности. Метод конечных разностей. В приближённых методах функции непре-рывного аргумента заменяются функциями дискретного аргумента – сеточны-ми функциями. Сеточную функцию можно рассматривать как функцию цело-численного аргумента: , …. Аналогом первой производной являются разности первого порядка. — правая разность. — левая разность. — центральная разность. Заметим, что . Разности второго порядка ; ; ; . Ниже рассмотрим различные методы решения обыкновенных дифферен-циальных уравнений (ОДУ) первого порядка. Пример расчета. Составить решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера, усовершен-ствованным методом Эйлера-Коши, методом Рунге-Кутте, методом Адамса, на отрезке с шагом при начальных условиях . Все вычисления выполнять с четырьмя десятичными знаками. Уравнение 6.1. Решение методом Эйлера Решить на отрезке уравнение при . Будем искать в дискретных точках . С шагом , где — количество разбиения отрезка . В соответствии с методом Эйлера решение будем искать в виде , где — погрешность численного решения на шаге , . Расчеты проведем в таблице 6.1. Таблица 6.1 0 0,2 0,25 0,0512 1 0,3 0,3012 0,0656 2 0,4 0,3668 0,0826 3 0,5 0,4494 0,1026 4 0,6 0,552 0,126 5 0,7 0,678 0,1533 6 0,8 0,8313 0,1849 7 0,9 1,0162 0,2217 8 1 1,2379 0,2643 9 1,1 1,5022 0,3137 10 1,2 1,8159 0,3709 6.2. Решение методом Эйлера-Коши Этот метод иногда называют методом Эйлера с пересчетом. Решение ищется в виде: , , т.е. вместо тангенса угла наклона касательной к интегральной кривой в точке , который используется в методе Эйлера, используется тангенс угла наклона в промежуточной точке, между точками и . Ме-тод Эйлера-Коши обладает третьим порядком точности на шаге интегрирова-ния. Решение сводится в таблицу 6.2. Таблица 6.2 0 0,2 0,25 0,0256 0,25 0,2756 0,0583 1 0,3 0,3083 0,0334 0,35 0,3417 0,0753 2 0,4 0,3836 0,0427 0,45 0,4263 0,0955 3 0,5 0,4791 0,0537 0,55 0,5328 0,1195 4 0,6 0,5986 0,0668 0,65 0,6654 0,1478 5 0,7 0,7464 0,0822 0,75 0,8286 0,181 6 0,8 0,9274 0,1002 0,85 1,0276 0,2201 7 0,9 1,1475 0,1214 0,95 1,2689 0,2658 8 1,0 1,4133 0,1463 1,05 1,5596 0,3195 9 1,1 1,7328 0,1754 1,15 1,9082 0,3825 10 1,2 2,1153 0,2096 1,25 2,3249 0,4563 6.6. Решение метод Рунге-Кутта Основная идея метода состоит в построении специального алгоритма, чтобы приращение функции на шаге совпадало с прира-щением функции , которое определяется из ряда Тейлора . При этом вторые и следующие производные определяются в результате вычисления функции в некоторых промежуточных точках и . Вычисления проводятся по схеме , , , , , . Схема Рунге — Кутта имеет четвертый порядок точности на шаге. Резуль-таты расчета приводятся в таблице 6.3 и на графике рис.6.2. Таблица 6.3 0,2 0,2500 0,0512 0,25 0,2756 0,0583 0,2792 0,0589 0,3 0,3089 0,0668 0,0587 0,3 0,3087 0,0668 0,35 0,3421 0,0754 0,3464 0,0760 0,4 0,3848 0,0855 0,0758 0,4 0,3846 0,0855 0,45 0,4273 0,0957 0,4324 0,0965 0,5 0,4811 0,1077 0,0963 0,5 0,4809 0,1077 0,55 0,5347 0,1198 0,5407 0,1208 0,6 0,6016 0,1340 0,1205 0,6 0,6013 0,1340 0,65 0,6683 0,1482 0,6754 0,1494 0,7 0,7507 0,1650 0,1490 0,7 0,7504 0,1649 0,75 0,8328 0,1817 0,8412 0,1831 0,8 0,9334 0,2014 0,1826 0,8 0,9330 0,2013 0,85 1,0337 0,2210 1,0435 0,2226 0,9 1,1556 0,2441 0,2221 0,9 1,1551 0,2441 0,95 1,2772 0,2672 1,2887 0,2690 1,0 1,4242 0,2943 0,2685 1,0 1,4236 0,2942 1,05 1,5707 0,3213 1,5843 0,3235 1,1 1,7471 0,3531 0,3228 1,1 1,7464 0,3530 1,15 1,9230 0,3848 1,9389 0,3874 1,2 2,1339 0,4222 0,3866 1,2 2,1331 0,4221 1,25 2,3441 0,4594 2,3628 0,4624 1,3 2,5955 0,5032 0,4615 6.4. Многошаговый метод решения Адамса При решении дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта необ-ходимо проводить много вычислений для нахождения каждого . В том слу-чае, когда правая часть уравнения имеет сложное аналитическое выражение, решение такого уравнения методом Рунге-Кутта вызывает трудности. Поэтому на практике применяется метод Адамса, который не требует многократного подсчета правой части уравнения. Формула Адамса получена на основе интерполяционной формулы Лагран-жа. Общая схема состоит в том, что если известно приближенные решения в нескольких узлах сетки , следовательно в этих точках из-вестны и значения функций правой части уравнения (6.1). Пологая, и заменяя функцию интерполяционным многочленом Лагранжа и проинтегрировав (6.1) на отрезке , получаем . Проводя интегрирование, находим разностную схему для решения дифференциального уравнения. Если для построения интерполя-ционного многочлена используется четыре узла , то полу-чается формула Адамса. Этот метод имеет четвертый порядок точности на ша-ге интегрирования. Вычисления проводятся по схеме , где ; , ; ; соответственно первая, вторая, третья разности. Для начала процесса счета нужны четыре начальных значения (например, из табл. 6.2 — метода Эйлера-Коши) ; Таблица 6.4. 0 0,2 0,2500 0,051171 0,015536 0,003072 0,000421 1 0,3 0,3083 0,066707 0,018608 0,003493 0,000621 2 0,4 0,3836 0,085315 0,022101 0,004114 0,000575 3 0,5 0,4791 0,12008 0,107416 0,026216 0,004689 0,000723 4 0,6 0,59918 0,148687 0,133632 0,030905 0,005413 0,000905 5 0,7 0,747867 0,182159 0,164537 0,036318 0,006318 0,001074 6 0,8 0,930026 0,221539 0,200854 0,042636 0,007392 0,001273 7 0,9 1,151565 0,26778 0,24349 0,050027 0,008665 8 1 1,419345 0,322014 0,293517 0,058692 9 1,1 1,741358 0,385643 0,352209 10 1,2 2,127001 На рис. 6.2 графически представлены сглаженные кривые ( ), которые являются результатами интегрирования четырьмя вышеописанными методами (таблицы 1-4). Рис. 6.2 Задание на проведение расчетов. Составить решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка усовершенствованным методом ломаных на отрез-ке с шагом равным 0,1 при начальном условии . Все вы-числения выполнять с четырьмя десятичными знаками. 1. , 2. 3. , 4. 5. , 6. 7. , 8. 9. , 10. 11. , 12. 13. , 14. 15. , 16. 17. , 18. 19. , 20. 21. , 22. 23. , 24. 25. , 26. 27. , 28. 29. , 30. 31. , 32.