Исследование операций и модели экономического поведения

Две противоборствующие стороны пытаются овладеть двумя позициями. Для этого первая сторона располагает тремя подразделениями, вторая — четырьмя подразделениями (например, полками). Каждый из противников может выделить для захвата любой из позиций целое число подразделений (в том числе и нулевое), полностью расходуя ресурсы. Позиция считается занятой той стороной, которая выделила для ее захвата большее число подразделений. Какой вид имеет критерий эффективности первой стороны, если ее цель состоит в захвате максимального числа позиций

• (Правильный ответ)

Пусть в конечной игре двух лиц <X1,X2,M1(x1,x2),M2(x1,x2)> X1={1,2,3,4}, X1={1,2,3,4,5}

Какая стратегия первого игрока является наилучшей по гарантированному результату?

• четвертая стратегия
• (Правильный ответ) третья стратегия
• вторая стратегия

Два производителя одного и того же товара могут производить его в объемах 0?xi ?1, i=1,2. Затраты на выпуск единицы продукции составляют ci(xi)=Cixi,Ci>0 Товар подается на рынке по цене p(x)=1-x, где x=x1+x2 — совокупное предложение товара. Прибыльi-го производителя от выпуска товара в объеме xi описывается функцией M1(x1,x2)=xip(x)-ci(xi). Указать, какой вид имеет график функции наилучшего ответа второго производителя на известное решение об объеме выпуска первого при C1=0,6,C2=0,4

• (Правильный ответ)

Пусть в игре двух лиц <X1,X2,M1(x1,x2),M2(x1,x2)> множества стратегий конечны X1=X2={1,2} и порядок ходов заранее не определен. Игроку, делающему ход вторым, известен выбор партнера. В какой из игр возникает борьба за право первого хода?

• (Правильный ответ)

Рынок товара. Зависимость спроса на однородный товар от цены p за единицу товара имеет вид

Поступление товара на рынок описывается функцией предложения pmin=2, pmax=12 При какой цене товара имеет баланс спроса и предложения?

• peq=8
• peq=7
• (Правильный ответ) peq=6

Рынок товара. Зависимость спроса на однородный товар от цены p за единицу товара имеет вид

Поступление товара на рынок описывается функцией предложения pmin=2, pmax=12. Является ли цена, определяющая равновесие спроса и предложения, устойчивой, если количество товара, поступающего на рынок в текущий момент, определяется ценой товара в предшествующий момент дискретного времени?

• равновесие неустойчиво
• равновесие устойчиво
• (Правильный ответ) наблюдаются периодические колебания цены

Установить, какие точки являются седловыми для функции M(x,y)=x-y в области 0?x?1,0?y?1?

• (Правильный ответ) (x*,y*)=(1,1)
• (x*y*)=(1/2,1/2)
• седловых точек нет
• (x*y*)=(1,0)

Чему равен минимальный гарантированный проигрыш второго игрока в антагонистической игре с ядром M(x,y)=(x-y)2 и множествами стратегий -1?x?1,-1?y?1?

• v=0
• (Правильный ответ) v=1
• v=1/2

Установить, какие точки являются седловыми для функции

в области 0?x?1,0?y?1

• (x*,y*=(1,0)
• (x*,y*=(1/2,1/2)
• (Правильный ответ)

Установить, какие точки являются седловыми для функции

в области 0?x?1,0?y?1

• (Правильный ответ) (x*,y*=(1/2,1/2)
• (x*,y*=(1,0)

Укажите деревья, являющиеся позиционной формой антагонистической игры

• (Правильный ответ)

Какие рулетки реализуют случайный выбор с вероятностями (1/8,7/8)?

• бросаются три симметричных монеты. Выбирается первое решение, если выпадает один «орел», и второе решение в остальных случаях
• бросаются три симметричных монеты. Выбирается первое решение, если число выпавших «орлов» меньше трех, и второе решение в остальных случаях
• (Правильный ответ) бросаются три симметричных монеты. Выбирается первое решение, если выпадают три «орла», и второе решение в остальных случаях

Какие пары чистых стратегий игроков в биматричной игре

являются эффективными, но не являются устойчивыми?

• (Правильный ответ) i*=2,j*=2
• i*=1,j*=2
• i*=2,j*=1

Какие пары чистых стратегий игроков в биматричной игре

являются устойчивыми и не являются эффективными?

• x*=1,j*=1
• x*=2,j*=1
• (Правильный ответ) x*=1,j*=2

Какое решение имеет задача линейного программирования

Указать, какую из задач линейного программирования следует решить для отыскания оптимальной по гарантированному результату стратегии второго игрока

• max(u1+u2),3u1-u2?1,2u2?1,u1?0, u2?0
• min(u1+u2),2u1-u2?1,-2u1+u2?1,u1?0, u2?0
• (Правильный ответ) max(u1+u2),4u1+u2?1,3u2?1,u1?0, u2?0
• min(u1+u2),2u1-2u2?1,-u1+u2?1,u1?0, u2?0

Какой вид имеет множество допустимых сделок с побочными платежами для биматричной игры

• (Правильный ответ)

Какой вид имеет множество допустимых сделок с побочными платежами для биматричной игры

• (Правильный ответ)

Задача торга. Продавец (первый игрок) располагает едини-цей неделимого товара. Он решает, какую назначить цену: высокую или низкую. Покупатель (второй игрок) может либо приобрести товар, либо отказаться от покупки. Матрицы доходов в не-которых условных единицах имеют вид Как выглядят оптимальные стратегии угроз при заключении сделки и какую сделку (u+,v+) они порождают?

• P»=(1,0),Q»=(1,0);u+=2,v+=1
• P»=(1/2,1/2),Q»=(1,0);u+=3/2,v+=3/2
• (Правильный ответ) P»=(1,0),Q»=(0,1);u+=3/2,v+=3/2
• P»=(0,1),Q»=(0,1);u+=3/2,v+=3/2

Обслуживание загородных маршрутов. Известно, что жители больших городов, придерживаясь рационального принципа проведения воскресного отдыха на свежем воздухе, все более охотно выезжают за город, используя автобусный транспорт. Поэтому в выходные дни возникает проблема выделения дополнительных автобусов, следующих в загородные места отдыха. Очевидно, что потребность в дополнительном транспорте зависит от погоды в выходной день. Функция потерь транспортного предприятия, вычисленная на основе прошлых лет, имеет вид Графики функций математического ожидания потерь (функций риска) ?=?(??i),1?i?3 в зависимости от априорного распределения вероятностей ?=(?,1-?),0???1 на состояниях природы {плохая, хорошая}={1, 2} имеют вид Пусть в задаче обслуживания загородных маршрутов диспетчер принимает решение с учетом показаний барометра, причем, в силу несовершенства прибора, показания {дождь, переменно, ясно, очень сухо}={z1,z2,z3,z4} связаны с состоянием погоды стохастически:

z1z2z3z4p(z/1)0,60,30,10p(z/2)0,10,10,50,3 Сколько решающих функций (правил преобразования показаний барометра в решения) имеется у диспетчера?

• (Правильный ответ) восемьдесят одна
• шестьдесят четыре
• четыре
• двенадцать

Контроль качества продукции. Заказчик, осуществляя приемку у исполнителя сложного технического изделия, может выбрать одно из двух решений: признать изделие годным и принять его в эксплуатацию (покрывая стоимость обнаруженных впоследствии дефектов) либо признать изделие непригодным для эксплуатации и потребовать замены отдельных (возможно, некачественных) узлов. Качество изделия может быть удовлетворительным или неудовлетворительным, в зависимости от соблюдения технологии изготовления изделия. Замена исправных узлов оплачивается заказчиком и составляет условную единицу. Стоимость обнаруженных во время эксплуатации дефектов обходится заказчику в два раза дороже, в остальных случаях потери отсутствуют. Матрица потерь заказчика имеет вид Отношения правдоподобия p(z/2)/p(z/1) для результатов тестирования есть

z1— тестирование прошло успешноz2 — выполнилась большая часть тестовz3— выполнилась меньшая часть тестовz4 — ни один из тестов не выполнилсяp(z/2)/p(z/1)01/35? Каков вид байесовской решающей функции при равновоз-можных состояниях природы?

• (Правильный ответ)

Выбор структуры посевов. Руководство сельскохозяйственного предприятия решает проблему выбора участков земли для посадки картофеля. Для хорошего урожая требуется определенное количество влаги. В среднем максимальные урожаи получаются при решении о посадке картофеля на участке, характеризующемся большой влажностью почвы (решение ?2) при засушливом лете (второе состояние природы), или при решении о посадке картофеля на сухом участке (решение ?1) при дождливом лете (первое состояние природы). Потери сельскохозяйственного предприятия оцениваются матрицей Пусть при решении проблемы выбора участков земли для посадки используется дополнительная информация о состоянии природы, полученная в результате наблюдений за погодой весной, в период посадки. Результаты наблюдений на основе многолетней статистики определяют условные распределения (в зависимости от состояния природы)

z1 — большое количество осадковz2 — малое количество осадковp(z/1)0,60,4p(z/2)0,20,8 Чему равен риск ?(?,d) от применения решающей функции при априорном распределении вероятностей ?(o.5,0.5)?

• (Правильный ответ) 0,6
• 0,5
• 2

В статистической игре с единичным испытанием матрица потерь имеет вид

а статистическая связь между состояниями природы и результатами эксперимента описывается таблицей z1z2p(z/1)0,60,4p(z/2)0,20,8 (см. задачу о выборе маршрута, стр. 312). Функция байесовского риска состоит из трех отрезков, принадлежащих прямым ?=?,?=0,4?+0,8(1-?),?=4(1-?) и имеет видЧему равны минимаксные потери статистика?

• (Правильный ответ) 4/7
• 4/9
• 0,5

В статистической игре с единичным испытанием матрица потерь имеет вид

а статистическая связь между состояниями природы и результатами эксперимента описывается таблицей z1z2z3z4p(z/1)0,60,30,10p(z/2)00,10,50,4 (см. задачу контроля качества продукции, стр. 310). Функция байесовского риска состоит из трех отрезков, принадлежащих прямым ?=0,4?,?=0,1?+0,1(1-?)2,?=0,6?(1-?)2 и имеет вид Какая стратегия статистика является минимаксной?

• (Правильный ответ)

Рынок товара. Зависимость спроса на однородный товар от цены p за единицу товара имеет вид

Поступление товара на рынок описывается функцией предложения pmin=2, pmax=12. Пусть посредник при понижении цены осуществляет закупку двух единиц товара, которые сбывает при повышении цены. Чему равна прибыль посредника в результате операции купли-продажи, если в начальный момент времени p=8, S(8)=12

• ?=2
• ?=0
• (Правильный ответ) ?=-2

Позиционная игра. Антагонистическая игра с полной информацией, в которой первым ходит первый игрок, задана деревом Какие стратегии образуют седловую точку ядра антагонистической игры?

• s=(1,2,1), g=(2,1,1)
• s=(3,2,1), g=(2,2,1)
• (Правильный ответ) s=(2,2,2), g=(1,2,2)
• s=(2,2,1), g=(2,1,2)

Какое утверждение справедливо для биматричной игры

• в игре имеется единственная ситуация равновесия в чистых стратегиях
• в игре имеется единственная ситуация равновесия в смешанных стратегиях
• (Правильный ответ) в игре имеется бесконечное множество ситуаций равновесия в смешанных стратегиях

Какое из утверждений справедливо для биматричной игры

• в игре имеется единственная ситуация равновесия в классе смешанных стратегий
• (Правильный ответ) в игре имеется конечное число ситуаций равновесия в классе смешанных стратегий
• в игре имеется единственная ситуация равновесия в классе чистых стратегий

Какой вид имеет множество допустимых сделок без побочных платежей для биматричной игры

• (Правильный ответ)

Чему равны гарантированные выигрыши игроков в биматричной игре

• u*=3,v*=0
• (Правильный ответ) u*=3/4,v*=0
• u*=0,v*=1

Какая сделка u0,v0 удовлетворяет аксиомам Нэша для допустимого множества S при гарантированных уровнях u*=2,v*=1?

• u0=6,v0=7/3
• u0=9/4,v0=9/4
• u0=4,v0=3
• (Правильный ответ) u0=7,v0=2

Какой вид имеет паретовская граница множества S?

• точки (0,3), (3,0), отрезок (1,2.5)(2.5,1)
• (Правильный ответ) ломаная (0,3)(1,2.5)(2.5,1)(3,0)
• точки (0,3), (1,2.5), (2.5,1), (3,0)
• отрезок (1,2.5)(2.5,1)

Задача торга. Продавец (первый игрок) располагает едини-цей неделимого товара. Он решает, какую назначить цену: высокую или низкую. Покупатель (второй игрок) может либо приобрести товар, либо отказаться от покупки. Матрицы доходов в не-которых условных единицах имеют вид Какие решения сторон образуют ситуацию равновесия по Нэшу и к каким выигрышам приводит применение равновесных стратегий?

• x0=(0,1),y0=(1,0);M1(x0,y0)=1,M2(x0,y0)=2
• (Правильный ответ) x0=(1,0),y0=(1,0);M1(x0,y0)=2,M2(x0,y0)=1
• x0=(0,1),y0=(0,1);M1(x0,y0)=0,M2(x0,y0)=0
• x0=(1/2,1/2),y0=(1,0);M1(x0,y0)=3/2,M2(x0,y0)=3/2 Множество допустимых сделок рассматриваемой задачи торга имеет вид

Дуэль истребитель-бомбардировщик. Пусть в дуэли истребитель-бомбардировщик самолеты летят навстречу друг другу с единичного рас-стояния, и цель первой стороны (истребителя) состоит как в выживании, так и в поражении противника. Дуэль заканчивается, если одна из сторон поразила противника или стороны исчерпали боеприпасы. Вероятности попадания описываются в виде функцийирасстояния между самолетами. Полезность исходов дуэли для первой стороны описывается таблицей

бомбардировщик сбитбомбардировщик уцелелистребитель сбит0-1истребитель уцелел10 Каков вид усредненной полезности истребителя, если каждая из сторон может произвести один выстрел и дуэлянты слышат выстрелы друг друга — дуэль шумная?

• (Правильный ответ)
• M(x,y)=p1(x)-p2(y)

Какому типу принадлежит игра <X,Y,M1(x, y),M2 (x, y)>, в которой X={x:0?x?1},Y={y:0?y?1}

• (Правильный ответ) игра с непротивоположными интересами
• игра антагонистическая
• игра с идентичными интересами

Чему равен минимальный гарантированный проигрыш второго игрока в антагонистической игре с ядром

и множествами стратегий 0?x?1, 0?y?1?

• v=1
• v=0
• (Правильный ответ) v=1/2

Какая сделка u0,v0 удовлетворяет аксиомам Нэша для допустимого множества S при гарантированных уровнях u*=0,v*=0?

• (Правильный ответ) u0=1,v0=1/2
• u0=1,v0=0
• u0=2/3,v0=2/3
• u0=0,v0=0

Позиционная игра. Антагонистическая игра с полной информацией, в которой первым ходит первый игрок, задана деревом Какие стратегии образуют седловую точку ядра антагонистической игры?

• s=(2,1,2,2),