Введение в теорию вероятностей

Стрелок, попадающий в цель при любом выстреле с вероятностью 0,1, ведет стрельбу до первого попадания. Результаты выстрелов независимы. Какова вероятность того, что потребуется не менее трех патронов?

• 0,243
• (Правильный ответ) 0,81
• 0,1
• 0,081

Каждая из 1000 деталей с вероятностью 0,001 может оказаться бракованной. По теореме Пуассона найдите приближенно вероятность того, что ровно две детали будут бракованными.

• 0,271
• 0,002
• 0,368
• (Правильный ответ) 0,184

Какая из формул вычисляет вероятность при шести подбрасываниях симметричной игральной кости ровно один раз выбросить шесть очков?

• (5/6)6
• 1 — (1/6)7
• (Правильный ответ) (5/6)5
• 1

Симметричную игральную кость бросали 29 раз, и ни разу не выпало шесть очков. С какой вероятностью при 30-м броске выпадет шесть очков?

• 1
• (Правильный ответ) 1/6
• (5/6)29 · (1/6)
• 5 · (5/6)30

Стрелок, попадающий в цель при одном выстреле с вероятностью 0,3, делает два выстрела. Результаты выстрелов независимы. Выберите верное высказывание.

• вероятность попасть ровно один раз равна 0,3
• вероятность попасть дважды равна 0,6
• (Правильный ответ) вероятность попасть ровно один раз равна 0,42
• вероятность попасть при втором выстреле, если при первом был промах, равна 0,21

Какая из формул вычисляет вероятность при семи подбрасываниях симметричной игральной кости ни разу не выбросить шесть очков?

• 7 · (5/6)7
• 1/7
• (Правильный ответ) (5/6)7
• 1 — (1/6)7

Правильную монету подбросили 14 раз, и выпали только гербы. С какой вероятностью при 15-м броске выпадет герб?

• 15/215
• 15!/215
• (Правильный ответ) 1/2
• 1/215

Какие из следующих функций являются плотностями распределений?

• (Правильный ответ)

Пусть случайная величина принимает только значения с одинаковой вероятностью . Найдите .

• 1
• (Правильный ответ) 0,6
• 0,2
• 0,4

Выберите верные утверждения.

• (Правильный ответ)
• (Правильный ответ) плотность абсолютно непрерывного распределения не обязательно непрерывна
• (Правильный ответ) если , то распределения случайных величин и совпадают
• множество возможных значений случайной величины с дискретным распределением конечно

Выберите верные утверждения.

• если , то распределения случайных величин и совпадают
• дискретное распределение имеет плотность распределения
• одинаково распределенные случайные величины совпадают
• (Правильный ответ)

Пусть распределение случайной величины задано плотностью распределения:

Выберите верные утверждения.

• (Правильный ответ)
• (Правильный ответ)

Пусть распределение случайной величины задано плотностью распределения:

Выберите верные утверждения.

• (Правильный ответ)

Пусть распределение случайной величины задано плотностью распределения:

Выберите верные утверждения.

• (Правильный ответ)
• (Правильный ответ)
• (Правильный ответ)

Пусть распределение случайной величины абсолютно непрерывно, — функция распределения, а — плотность распределения случайной величины . Выберите верные утверждения.

• (Правильный ответ)
• (Правильный ответ)
• (Правильный ответ)

Какие из следующих функций являются плотностями распределений?

• (Правильный ответ)
• (Правильный ответ)

Какие из следующих функций являются плотностями распределений?

• (Правильный ответ)
• (Правильный ответ)

Пусть распределение случайной величины абсолютно непрерывно, — функция распределения случайной величины . Выберите верные утверждения.

• (Правильный ответ)
• (Правильный ответ)
• (Правильный ответ)
• (Правильный ответ)

Пусть распределение случайной величины задано функцией распределения:

Выберите верные утверждения.

• (Правильный ответ)
• (Правильный ответ)

Пусть . Какие из следующих функций являются случайными величинами?

• (Правильный ответ)
• (Правильный ответ)

Пусть распределение случайной величины задано плотностью распределения:

Выберите верные утверждения.

• (Правильный ответ)
• (Правильный ответ)
• (Правильный ответ)

Точка наудачу выбирается на отрезке [0, 5]. Какое распределение имеет координата этой точки?

• (Правильный ответ) равномерное на отрезке от 0 до 5
• нормальное с параметрами 0 и 5
• распределение Пуассона с параметром 5
• биномиальное с параметрами 5 и 0,5

Выберите распределения, для которых вероятность является наибольшей среди перечисленных.

• (Правильный ответ)

Случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром 1. Вычислите следующие вероятности и укажите верные равенства.

• (Правильный ответ)
• (Правильный ответ)

Случайная величина имеет стандартное нормальное распределение. Укажите верное неравенство.

• (Правильный ответ)

Из урны, содержащей два белых и три черных шара, наугад вынимают сразу три шара. Случайная величина равна числу белых шаров среди выбранных. Вычислите следующие вероятности и укажите верное неравенство.

• (Правильный ответ)

На отрезок [0, 1] наудачу и независимо друг от друга бросают пять точек. Какое распределение имеет число точек, попавших на левую половину отрезка?

• равномерное на отрезке от 0 до 5
• (Правильный ответ) биномиальное с параметрами 5 и 0,5
• нормальное с параметрами 0,5 и 5
• геометрическое с параметром 5

Правильную монету бросают 10 раз. Какое распределение имеет число выпавших гербов?

• равномерное на отрезке от 0 до 10
• распределение Пуассона с параметром 5
• стандартное нормальное
• (Правильный ответ) биномиальное с параметрами 10 и 0,5

Случайная величина имеет нормальное распределение с плотностью распределения . Пусть — функция распределения стандартного нормального распределения. Чему равно значение вероятности ?

• (Правильный ответ)

Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [0, 5]. Вычислите следующие вероятности и укажите верные равенства.

• (Правильный ответ)
• (Правильный ответ)

Случайная величина имеет показательное распределение с параметром 2. Вычислите следующие вероятности и укажите верные равенства.

• (Правильный ответ)
• (Правильный ответ)

Пусть случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами . Выберите верные утверждения.

• (Правильный ответ)
• (Правильный ответ)

Пусть случайный вектор имеет абсолютно непрерывное распределение. Если в некоторой области функция распределения этого вектора равна , то какова его плотность распределения в той же области?

• 1
• (Правильный ответ) 8
• 0

Пусть и — произвольные случайные величины. Выберите верные утверждения.

• (Правильный ответ)

Укажите высказывания, которые справедливы для любых случайных величин и с дискретными распределениями.

• (Правильный ответ)

Пусть случайный вектор имеет абсолютно непрерывное распределение с постоянной плотностью во всех точках ромба . Вне ромба плотность нулевая. Каково значение плотности внутри ромба?

• 1/?
• (Правильный ответ) 1/2
• 1
• 1/2?

Выберите верные высказывания.

• (Правильный ответ) функция совместного распределения равна вероятности
• (Правильный ответ) если случайные величины независимы, то, зная их частные распределения, можно найти функцию совместного распределения
• функция совместного распределения равна вероятности
• (Правильный ответ) функция совместного распределения непрерывна слева по каждой переменной

Пусть и имеют плотность совместного распределения

Укажите, чему равна вероятность события .