ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
Электростатика. Диэлектрики
ЗАДАЧИ
3.1. Шар радиусом R заряжен однородно с объёмной плотностью r. Найти напряженность поля 
для точек внутри и вне шара.
(
; 
).
3.2. Бесконечно тонкая прямая нить заряжена однородно с плотностью l. Найти напряженность электрического поля Е и потенциал j как функции расстояния r от нити. Потенциал на расстоянии r0 положить равным 0.
(E=(1/2pe0) ×l/r; j=-(l/2pe0)×ln(r/r0).
3.3. Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью t=1,5 нКл/см. На продолжении оси стержня на расстоянии d=12 см от его конца находится точечный заряд Q=0,2 мкКл. Определить силу взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.
(F=2,25 мН).
3.4. По тонкому проволочному кольцу радиусом r=60 мм, равномерно распределен заряд q=20 нКл.
а) Приняв ось кольца за ось х, найти потенциал j и напряженность поля 
на оси кольца как функцию х (начало отсчета х поместить в центр кольца).
б) Исследовать случаи х=0 и ½х½>> r.
(E=(1/4pe0)×
; j=(1/4pe0)×
).
3.5. Чему равен поток вектора E через поверхность сферы, внутри объема которой находится:
а) заряд е;
б) заряд —е;
в) диполь с моментом ре.
Объясните результат с помощью картины силовых линий электрического поля.
3.6. Металлический шар радиусом R помещен в однородное электрическое поле. Изобразите качественную картину силовых и эквипотенциальных линий электрического поля.
3.7. Два точечных заряда +е и —е расположены в точках с координатами (а/2,0,0), (-а/2,0,0). Построить качественно график зависимости проекции напряженности поля Ех(х) для точек, лежащих:
а) на оси х (у=0);
б) у=2а.
3.8. Какая сила будет действовать на свободный диполь, электрический момент которого ре=0,5×10-10 Кл×м, если он расположен на расстоянии а=0,3 м от точечного заряда q=10-5 Кл? Считать плечо диполя значительно меньше расстояния а.
(0,33×10-3 Н).
3.9. Потенциал поля, создаваемого некоторой системой зарядов, имеет вид: j=a(x2+y2)-bz2, где а и b — положительные константы. Найти напряженность поля 
и ее модуль
. Построить графики зависимости Ex=f(x), Ez=f(z).
(E=
; 
).
3.10. Плоский воздушный конденсатор подключили к батарее, а затем отключили от неё. После этого сдвинули пластины конденсатора уменьшив расстояние между пластинами в 2 раза. Как изменится:
а) энергия, запасенная конденсатором;
б) заряд на обкладках конденсатора;
в) плотность энергии электрического поля конденсатора?
3.11. Диэлектрическая пластина шириной 2а с проницаемостью e=2 помещена в однородное электрическое поле напряженности Е, силовые линии которого перпендикулярны пластине.
а) Изобразите на рисунке линии полей Е и D электрического поля;
б) Постройте качественно графики зависимостей Ех, Dх от х (ось х перпендикулярна пластине, вектор Е направлен вдоль оси х, точка х=0 находится в середине пластины).
3.12. Диэлектрическая пластинка с проницаемостью e=2 помещена в однородное электрическое поле с напряженностью Е. Линии поля Е образуют некоторый угол j с поверхностью пластины. Изобразите качественно линии полей Е и D в вакууме и в пластине. Постройте качественно графики зависимостей Ех=f(x) и D=f(x).
3.13. Внутри плоской однородной диэлектрической пластины с e=3 вектор напряженности однородного электрического поля составляет угол j с поверхностью пластины. Считая, что с одной стороны пластины вакуум, а с другой стороны диэлектрик с e=2, изобразить качественно линии Е и D электрического поля в трех указанных средах. Построить качественно зависимости Ех=f(x) и Dx=f(x). Ось ОХ перпендикулярна поверхностям пластины, а ее толщина d.
3.14. Плоский воздушный конденсатор опустили в воду так, что поверхность воды параллельна плоскостям пластин, а ее уровень расположен на расстоянии h от нижней пластины. Найти зависимость электроемкости конденсатора от величины h, если площадь пластины S, а расстояние между ними d.
(С=
).
3.15. Электрическое поле создается равномерно заряженным шаром радиусом R с объемной плотностью заряда r. Определить зависимость вектора электрического смещения электрического поля от r. Построить качественно график Dr=f(r).
(D=(1/3)rr; D=(r/3)×(R3/r2)).
Постоянный ток
ЗАДАЧИ
3.16. Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен веществом с проницаемостью e=7 и удельным сопротивлением r=100 ГОм×м. Емкость конденсатора С=3000 пФ. Найти силу тока утечки через конденсатор при подаче на него напряжения U=2000В.
(I=9,7×10-7A).
3.17. В схеме, изображенной на рисунке, e1=10 В, e2=20 В, e3=30 В,
R1=1 Ом, R2=2 Ом, R3=3 Ом, R4=4 Ом, R5=5 Ом, R6=6 Ом, R7=7 Ом. Внутреннее сопротивление источников тока пренебрежимо мало. Найти силы токов I1, I2, I3.
(I1=-1,02 A, I2=0,90 A, I3=-0,12 A).
3.18. Определить заряд Q, прошедший по проводу с сопротивлением R=3 Ом при равномерном нарастании напряжения на концах провода от U0=2 B до U=4 B в течение 20 с.
(Q=20 Кл).
3.19. Сила тока в проводнике сопротивлением 20 Ом нарастает в течение времени Dt=2 с по линейному закону от I0=0 до Imax=6 A. Определить количество теплоты Q, выделившееся в этом проводнике за первую секунду.
(Q=60 Дж).
3.20. Концентрация электронов проводимости в меди n=1029 м-3. Считая условия нормальными, определить среднее время между двумя столкновениями электрона с решеткой (среднее время свободного пробега). Определить среднюю длину свободного пробега электрона. Удельное сопротивление меди r=1,7×10-8 Ом×м.
(l=4,7×10-9 м).
3.21. По медному проводнику сечением 0,2 мм2 течет ток. Определить, какая сила действует на отдельный электрон проводимости со стороны электрического поля, если объемная плотность энергии, выделяемая в проводнике, равна 9×103 Дж/м3. Определить плотность тока и силу тока в проводнике.
(F=19,8×10-22 H; j=7,3×105 A/м2; I=0,15 A).
3.22. Коэффициент теплопроводности материала некоторого проводника при нормальных условиях равен 390 Вт/(м×град). Этот проводник толщиной 2 мм2 включен в электрическую цепь, и в нем установился ток I=4 А. Определить напряженность электрического поля в этом проводнике и разность потенциалов на расстоянии 1 м по длине проводника. Площадь поперечного сечения проводника 2 мм2.
(E=3,1×10-2 B/м).
Магнетизм
ЗАДАЧИ
3.23. Ток силы I=1 А циркулирует в контуре, имеющем форму равнобочной трапеции. Отношение оснований трапеции h=2 : 1. Найти магнитную индукцию в точке А, лежащей в плоскости трапеции. Меньшее основание трапеции =100 мм, расстояние b=50 мм.
(B==1,4 мкТл).
3.24. В тонком проводнике, изогнутом в виде правильного шестиугольника со стороной а=20 см, идет ток I=10 А. Определить магнитную индукцию в центре шестиугольника.
(B=34,8×10-6 Тл).
3.25. Оценить индукцию магнитного поля В, создаваемого электроном в центре атома водорода, при движении электрона по первой боровской орбите, радиус которой а=0,53×10-10 м.
(12,5 Тл).
3.26. По витку радиусом R=10 см течет ток I=50 А. Виток помещен в однородное магнитное поле В=0,2 Тл. Определить момент силы М, действующей на виток, если плоскость витка составляет угол j=60° с линиями индукции.
(0,157 Н×м).
3.27. Обмотка соленоида содержит два слоя плотно прилегающих друг к другу витков провода диаметром d=0,2 мм. Определить магнитную индукцию на оси соленоида, если по проводу течет ток I=0,5 А.
(6,28 мТл).
3.28. По тонкому стержню длиной l=40 см равномерно распределен заряд Q=60 нКл. Стержень вращается с частотой n=12 с-1 относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через стержень на расстоянии а=l/3 от одного из его концов. Определить магнитный момент Pm, обусловленный вращением стержня. (3,6×10-8 А×м2).
3.29. Заряд Q=0,1 мкКл равномерно распределен по стержню длиной l=50 см. Стержень вращается с угловой скоростью w=50 рад/с относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину. Найти магнитный момент Pm, обусловленный вращением стержня.
(5,2×10-8 А×м2).
3.30. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течет ток I=50 А, расположена прямоугольная рамка так, что две большие стороны её длиной l=65 см параллельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из этих сторон равно её ширине. Каков магнитный поток j, пронизывающий рамку?
(4,5×10-6 Вб).
3.31. Стержень длиной l=20 см заряжен равномерно распределенным зарядом с линейной плотностью t=0,2 мкКл/м. Стержень вращается с частотой n=10 с-1 относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец. Определить магнитный момент Pm, обусловленный вращением стержня.
(Pm=1,7×10-8 А×м2).
3.32. Диск с равномерно распределенным по его плоскости зарядом Q равномерно вращается вокруг оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости с частотой n. Радиус диска R. Найти магнитный момент диска относительно оси z.
(Pm=(1/2)QpnR2 А×м2).
3.33. Чугунное кольцо имеет воздушный зазор длиной l0=5 мм. Длина l средней линии кольца равна 1 м. Сколько витков N содержит обмотка на кольце, если при силе тока I=4 А индукция В магнитного поля в воздушном зазоре 0,5 Тл? Напряженность поля в металле Н=1,5×103 А/м. Рассеянием магнитного потока в воздушном зазоре пренебречь. (N=870).
3.34. На сердечнике в виде тора диаметром d=500 мм имеется обмотка с числом витков N=1000. В сердечнике сделана поперечная прорезь, в результате чего образовался воздушный зазор ширины b=1 мм. При силе тока в обмотке I=0,85 А напряженность поля в зазоре Н=600 кА/м. Определить магнитную проницаемость m железа при этих условиях. Рассеянием поля у краев зазора пренебречь.
(=3,8×103).
3.35. Тонкий металлический стержень длиной l=1,2 м вращается с частотой n=120 мин-1 в однородном магнитном поле вокруг оси, перпендикулярной к стержню и отстоящей от одного из его концов на расстоянии l1=0,25 м. Вектор параллелен оси вращения, В=0,1 мТл. Найти разность потенциалов U, возникающую между концами стержня.
(U=0,53 мВ).
3.36. Обмотка соленоида содержит два слоя плотно прилегающих друг к другу витков провода диаметром d=0,2 мм. Считая соленоид бесконечно длинным, определить магнитную индукцию В и напряженность Н на оси соленоида, если по проводу идет ток I=0,5 A.
(B=6,3×10-3 Тл; H=5×103 A/м).
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Таблица вариантов задач к разделу «Электричество и магнетизм»
Вариант |
Номера задач |
||||
| 1 | 3.1 | 3.10 | 3.16 | 3.23 | 3.33 |
| 2 | 3.2 | 3.11 | 3.17 | 3.24 | 3.34 |
| 3 | 3.3 | 3.12 | 3.18 | 3.25 | 3.35 |
| 4 | 3.4 | 3.13 | 3.19 | 3.26 | 3.36 |
| 5 | 3.5 | 3.14 | 3.20 | 3.27 | 3.33 |
| 6 | 3.6 | 3.15 | 3.21 | 3.28 | 3.34 |
| 7 | 3.7 | 3.10 | 3.22 | 3.29 | 3.35 |
| 8 | 3.8 | 3.11 | 3.16 | 3.30 | 3.36 |
| 9 | 3.9 | 3.12 | 3.17 | 3.31 | 3.33 |
| 10 | 3.1 | 3.13 | 3.18 | 3.32 | 3.34 |
| 11 | 3.2 | 3.14 | 3.19 | 3.23 | 3.35 |
| 12 | 3.3 | 3.15 | 3.20 | 3.24 | 3.36 |
| 13 | 3.4 | 3.10 | 3.21 | 3.25 | 3.33 |
| 14 | 3.5 | 3.11 | 3.22 | 3.26 | 3.34 |
| 15 | 3.6 | 3.12 | 3.16 | 3.27 | 3.35 |
| 16 | 3.7 | 3.13 | 3.17 | 3.28 | 3.36 |
| 17 | 3.8 | 3.14 | 3.18 | 3.29 | 3.33 |
| 18 | 3.9 | 3.15 | 3.19 | 3.30 | 3.34 |
| 19 | 3.1 | 3.10 | 3.20 | 3.31 | 3.35 |
| 20 | 3.2 | 3.11 | 3.21 | 3.32 | 3.36 |
| 21 | 3.3 | 3.12 | 3.22 | 3.23 | 3.33 |
| 22 | 3.4 | 3.13 | 3.16 | 3.24 | 3.34 |
| 23 | 3.5 | 3.14 | 3.17 | 3.25 | 3.35 |
| 24 | 3.6 | 3.15 | 3.18 | 3.26 | 3.36 |
| 25 | 3.7 | 3.10 | 3.19 | 3.27 | 3.33 |
| 26 | 3.8 | 3.11 | 3.20 | 3.28 | 3.34 |
| 27 | 3.9 | 3.12 | 3.21 | 3.29 | 3.35 |
| 28 | 3.1 | 3.13 | 3.22 | 3.30 | 3.36 |
| 29 | 3.2 | 3.14 | 3.16 | 3.31 | 3.33 |
| 30 | 3.3 | 3.15 | 3.17 | 3.32 | 3.34 |