Эксперт по сдаче вступительных испытаний в ВУЗах
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 12 по высшей математике
Контрольная работа №12 вариант 1
Задание. Получены 100 статистических значений непрерывной случайной величины Xи выполнена группировка этих значений по интервалам. В условиях задачи приведены границы интерваловx_iн, x_iв и соответствующие частоты n_i. Найти статистические оценки математического ожидания M(X), дисперсии D(X)и среднего квадратического отклонения σ(X); построить гистограмму относительных частот и график теоретической плотности распределения; выполнить проверку гипотезы о виде распределения по критерию Пирсона при уровне значимости α=0,05.
x_iн 4 6 8 10 12 14 16 18
x_iв 6 8 10 12 14 16 18 20
n_i 4 8 25 30 19 9 3 2
Решение:
Найдем статистические оценки математического ожидания M(X), дисперсии D(X) и среднего квадратического отклонения σ(X).
Объём выборки:
n=4+8+25+30+19+9+3+2=100
Для каждого интервала определим середину интервала x_i и относительную частоту ω_i
x_i=(x_iн+x_iв)/2; ω_i=n_i/n
x_iн 4 6 8 10 12 14 16 18
x_iв 6 8 10 12 14 16 18 20
n_i 4 8 25 30 19 9 3 2
x_i 5 7 9 11 13 15 17 19
ω_i 0,04 0,08 0,25 0,3 0,19 0,09 0,03 0,02
Статистической оценкой математического ожидания M(X)является средняя выборочная:
x ̅_в=1/n ∑_(i=1)^8▒〖x_i∙n_i 〗=1/100(5∙4+7∙8+9∙25+11∙30+13∙19+
+15∙9+17∙3+19∙2)=11,02
Статистической оценкой дисперсииD(X) является выборочная дисперсия:
D_в=1/n ∑_(i=1)^8▒〖n_i (x_i-x ̅_в )^2 〗=1/100(4∙(5-11,02)^2+8∙(7-11,02)^2+
+25∙(9-11,02)^2+30∙(11-11,02)^2+19∙(13-11,02)^2+
+9∙(15-11,02)^2+3∙(17-11,02)^2+2∙(19-11,02)^2)=8,28
Выборочное среднеквадратическое отклонение равно:
σ_в=√(D_в )=√8,28=2,88
Построим гистограмму относительных частот.
По виду гистограммы относительных частот выдвинем гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности.
Плотность распределения вероятности нормально распределенной случайной величины имеет вид:
f(x)=1/(σ√2π) e^(- (x-a)^2/(2σ^2 ))
При a=x ̅_в=11,08, σ=σ_в=2,88 получим
f(x)=1/(2,88√2π) e^(- (x-11,08)^2/16,59)
Построим на одном графике нормированную гистограмму относительных частот f^* (x_i ) и график теоретической плотности распределения f(x).
x_iн 4 6 8 10 12 14 16 18
x_iв 6 8 10 12 14 16 18 20
f^* (x_i ) 0,02 0,04 0,125 0,15 0,095 0,045 0,015 0,01
f(x) 0,016 0,052 0,108 0,139 0,109 0,053 0,016 0,003
Выполним проверку гипотезы о виде распределения по критерию Пирсона при уровне значимости α=0,05.
Вычислим вероятности попаданий случайной величины в каждый интервал
P_i=P(x_iн
Похожие ответы, выполненные работы
