Эксперт по сдаче вступительных испытаний в ВУЗах
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 10 по высшей математике
Вариант 1
Задание №1. Бросают две игральные кости. Найти вероятность указанного случайного события. Сумма выпавших очков больше 9.
Решение:
По классическому определению вероятности, вероятность события A равна P(A)=m/n где m – число благоприятных исходов, n – общее число исходов.
Игральная кость при двух бросках выпасть следующими вариантами:
{1;1}, {1;2}, {1;3}, {1;4}, {1;5}, {1;6}
{2;1}, {2;2}, {2;3}, {2;4}, {2;5}, {2;6}
{3;1}, {3;2}, {3;3}, {3;4}, {3;5}, {3;6}
{4;1}, {4;2}, {4;3}, {4;4}, {4;5}, {4;6}
{5;1}, {5;2}, {5;3}, {5;4}, {5;5}, {5;6}
{6;1}, {6;2}, {6;3}, {6;4}, {6;5}, {6;6}
Общее число n таких выпадений равно:
n=6∙6=36
Выберем те пары значений, сумма очков на выпавших гранях которых больше 9:
{4;6}, {5;5}, {5;6}, {6;4}, {6;5}, {6;6}
Число благоприятных исходов равно:
m=6
Вероятность события A – при двух бросаниях игральной кости сумма выпавших очков больше 9, равна:
P(A)=6/36=1/6
Ответ: P(A)=1/6
Задание №2. В первой урне находится 1 красный шар и 19 синих, во второй – 9 красных шаров и 1 синий. Из каждой урны извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных шаров окажется:
а) два красных шара; б) один красный шар; в) хотя бы один красный шар; г) два синих шара.
Решение:
Обозначим события:
A_1-из первой урны вынули красный шар;
A_2-из второй урны вынули красный шар;
(A_1 ) ̅-из первой урны вынули синий шар;
(A_2 ) ̅-из второй урны вынули синий шар;
Вероятности этих событий (по классическому определению вероятностей) равны:
〖P(A〗_1)=1/(1+19)=1/20=0,05 〖P(A〗_2)=9/(9+1)=9/10=0,9
Тогда P((A_1 ) ̅ )=1-0,05=0,95P((A_2 ) ̅ )=1-0,9=0,1
По формулам сложения и умножения вероятностей:
а) Событие A-среди выбранных шаров будет два красных шара.
P(A)=〖P(A〗_1)∙〖P(A〗_2)=0,05∙0,9=0,045
б) Событие B-среди выбранных шаров будет только один красный шар.
P(B)=P((A_1 ) ̅)∙〖P(A〗_2)+〖P(A〗_1)∙P((A_2 ) ̅)=0,95∙0,9+0,05∙0,1=0,86
в) Событие C-среди выбранных шаров будет хотя бы один красный шар.
P(C)=1-P((A_1 ) ̅)∙P((A_2 ) ̅)=1-0,95∙0,1=0,905
г) Событие D-среди выбранных шаров будет два синих шара.
P(D)=P((A_1 ) ̅)∙P((A_2 ) ̅)=0,95∙0,1=0,095
Ответ: P(A)=0,045;P(B)=0,86;
P(C)=0,905; P(D)=0,095
Задание №3. Три оператора ЭВМ производят соответственно 45%, 35% и 20% всей работы, допуская при этом погрешности с вероятностями p_1=0,01, p_2=0,03, p_3=0,05соответственно. Одна из программ содержит погрешность. Какой оператор вероятнее всего ее допустил?
Решение:
Основное событие A–одна из программ содержит погрешность.
Гипотезы:
H_1-программу написал первый оператор;
H_2-программу написал второй оператор;
H_3-программу написал третий оператор.
Вероятности гипотез (по условию):
〖P(H〗_1)=0,45〖P(H〗_2)=0,35 〖P(H〗_3)=0,2
Условные вероятности (по условию):
P_(H_1 ) (A)=0,01P_(H_2 ) (A)=0,03P_(H_3 ) (A)=0,05
Вероятность события A по формуле полной вероятности равна:
P(A)=〖P(H〗_1)∙P_(H_1 ) (A)+〖P(H〗_2)∙P_(H_2 ) (A)+〖P(H〗_3)∙P_(H_3 ) (A)=
=0,45∙0,01+0,35∙0,03+0,2∙0,05=0,025
Вероятности того, программу с погрешностью написал первый, второй и третий оператор, соответственно равны (по формуле Байеса):
P(H_1 |A)=(〖P(H〗_1)∙P_(H_1 ) (A))/P(A) =(0,45∙0,01)/0,025=0,18
P(H_2 |A)=(〖P(H〗_2)∙P_(H_2 ) (A))/P(A) =(0,35∙0,03)/0,025=0,42
P(H_3 |A)=(〖P(H〗_3)∙P_(H_3 ) (A))/P(A) =(0,2∙0,05)/0,025=0,4
Наиболее вероятно (42 %) программу с погрешностью написал второй оператор.
Ответ: второй оператор.
Задание №4. В эксплуатации находятся n=5 однотипных изделий. Для каждого изделия вероятность безотказной работы в течение заданного времени равна p=0,5. Найти вероятность того, что заданное время проработают: а) ровно k=3изделия; б) не более k=3 изделий.
Решение:
Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится n независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления события A постоянна и равна p, а вероятность противоположного события равна q=1-p, то вероятность того, что при этом событие A осуществляется ровно m раз, вычисляется по формуле P_n (m)=C_n^m∙p^m∙q^(n-m)
где C_n^m — число сочетаний из n элементов поm.
а) Основное событиеA-заданное время проработают ровно 3 изделия.
Для данного случая n=5; m=3; p=0,5; q=1-0,5=0,5.
Тогда
P(A)=P_5 (3)=C_5^3∙p^3∙q^2=5!/(3!∙(5-3)!)∙〖0,5〗^3∙〖0,5〗^2=0,3125
б) Основное событиеB-заданное время проработают не более 3 изделий.
P(B)=P_5 (0)+P_5 (1)+P_5 (2)+P_5 (3)=1-(P_5 (4)+P_5 (5))=
=1-(C_5^4∙p^4∙q^1+C_5^5∙p^5∙q^0 )=1-(5∙p^4∙q+1∙p^5∙1)=
=1-(5∙〖0,5〗^4∙0,5+〖0,5〗^5 )=0,8125
Ответ: P(A)=0,3125; P(B)=0,8125
Ссылка на первоисточник:
https://igps.ru
