Лабораторная работа по автоматике и управлению

Практическая работа № 1 Исследование переходных функций элементарных динамических звеньев Цель работы: получение временных характеристик элементарных звеньев, изучение влияния изменения параметров звеньев на характеристики. Научится решать дифференциальные уравнения использую преобразование Лапласа, записывать передаточные функции, по заданным дифференциальным уравнениям, и оценивать устойчивость звеньев по корням характеристических уравнений. Общие сведения

1 Элементарные динамические звенья

Для определения динамических свойств автоматической системы необходимо ее элементы различать по их уравнениям динамики. В теории автоматического управления элементы автоматических систем, с точки зрения их динамических свойств, представляют с помощью небольшого числа динамических звеньев. Под элементарным динамическим звеном понимается искусственно выделяемая часть автоматической системы, соответствующая какому-либо элементарному алгоритму, и описываемая дифференциальным уравнением не выше второго порядка. Каждое звено представляет элемент направленного действия. Это значит, что преобразование в нем проходит в одном определенном направлении: от входа к выходу звена. Дифференциальное уравнение, отражающее характер преобразования поступающего на вход сигнала, называется уравнением динамики звена. Например, элемент системы описывается дифференциальным уравнением вида Левая часть такого уравнения характеризует динамический процесс, происходящий в звене. Коэффициенты левой части уравнения – постоянные времени. Величина k определяется отношением приращения выходной величины к приращению входной и называется статическим коэффициентом усиления (коэффициент передачи) звена. Другой формой математического описания динамического процесса является передаточная функция. Передаточной функцией звена или системы называется отношение изображений по Лапласу выходной величины к входной при нулевых начальных условиях Нулевые начальные условия состоят в том, что в системе n-го порядка при t=0 выходная величина и все ее производные от первой до (n-1)-ой равны нулю. В зависимости от характера протекания периодических процессов элементарные динамические звенья делятся на безынерционные, апериодические, колебательные, дифференцирующие, интегрирующие, запаздывающие. Безынерционное звено – это звено нулевого порядка, в котором в каждый момент времени существует пропорциональная зависимость между входной и выходной величинами. Апериодическое звено – это звено первого порядка, в котором выходная величина при подаче на вход ступенчатого воздействия изменяется по экспоненциальному закону. Колебательное звено – это звено второго порядка, в котором выходная величина при подаче на вход ступенчатого воздействия стремится к установившемуся значению, совершая затухающие колебания или монотонно приближаясь к нему. Дифференцирующее звено – это звено, в котором выходная величина пропорциональна скорости изменения входного воздействия. Реальное дифференцирующее звено – это звено, обладающее инерционностью. Интегрирующее звено – это звено, выходная величина которого пропорциональна интегралу по времени от входной величины. Запаздывающее звено – это звено, которое на выходе воспроизводит входной сигнал без искажений, но с некоторым постоянным временем запаздывания. Неустойчивое звено первого порядка, в котором выходная величина при подаче на вход ступенчатого воздействия будет неограниченно экспоненциально возрастать. Неустойчивое звено второго порядка, в котором выходная величина при подаче на вход ступенчатого воздействия будет неограниченно возрастать.

1.2 Характеристики переходных процессов

Динамические свойства звена могут быть определены на основании дифференциального уравнения, описывающего поведение звена в переходном режиме. Решение дифференциального уравнения дает возможность получить переходную характеристику динамического звена, представляющую зависимость выходной величины от времени при ступенчатом входном воздействии. Кроме переходной характеристики, динамические свойства могут быть выражены и другими закономерностями: — переходная импульсная (весовая) функция, представляющая собой реакцию звена на импульсное входное воздействие; — частотные характеристики, представляющие собой реакцию звена на входные воздействия, имеющие характер гармонической синусоидальной функции.

1.3 Требования к временным характеристикам

Типичная переходная функция системы второго порядка изображена на рисунке 1. Время нарастания определим как время, необходимое для изменения переходной функции от 10% до 90% от ее установившегося значения. Максимальное значение переходной функции обозначим , время достижения максимума , а процентное превышение установившегося значения будем рассчитывать по формуле На рис. 1 установившееся значение выходной величины принято =1. Время установления – это время, необходимое для того, чтобы выходной сигнал вошел в определенную зону, прилегающую к установившемуся значению, и далее оставался в пределах этой зоны. Ширину зоны обычно принимают равной ±5% или ±2% от установившегося значения Время нарастания при ширине зоны 5%: Исходные данные: — k – коэффициент передачи = 40; — Т – постоянная времени = 5; — ξ – коэффициент затухания = 0.3; — τ – время запаздывания = 5. Проводим моделирование переходного процесса каждого элементарного звена при подаче на его вход единичного ступенчатого воздействия (табл. 3). Таблица 2 – Математические модели типовых динамических звеньев Таблица 3 – Расчет математической модели типовых динамических звеньев

2 Решение дифференциальных уравнений с использованием преобразования Лапласа.

Второй часть. лабораторной работы будет решение дифференциальных уравнений с использованием преобразования Лапласа. Пример решения представлен ниже. Решить дифференциальных уравнений с использованием преобразований Лапласа: Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений (таблица 1). Для решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму простых дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде Сравнивая получившуюся дробь с исходной, можно составить систему из трех уравнений с тремя неизвестными: Решение: Допустим, входной сигнал имеет форму единичного ступенчатого воздействия, т.е. . Тогда изображение входного сигнала . Производим преобразование исходного ДУ по Лапласу и подставляем X(s): Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений (таблица 1). Для решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму простых дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде Тогда знаменатель примет вид Сравнивая получившуюся дробь с исходной, можно составить систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

3 По заданным дифференциальным уравнениям записать передаточные функции и оценить устойчивость звеньев по корням характеристических уравнений (используется корневой критерий)

Пример решения представлен ниже. Из полученного выражения во второй части лабораторной работы получаем передаточную функцию: Теперь используя корневой критерий, оцениваем устойчивость системы. Корневой критерий формулируется следующим образом: линейная АСР устойчива, если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости. Иными словами, все действительные части комплексных корней должны быть отрицательными. В противном случае система неустойчива. Так как в данном случае все корни отрицательны(-2; -3), делаем вывод, что система устойчива. Решение: Корни равны (получены ранее): ; . Так как в данном случае все корни отрицательны, делаем вывод, что система устойчива. Вывод: В результате выполнения работы исследованы временные характеристики элементарных звеньев, решено заданное дифференциальное уравнение с использованием преобразования Лапласа. Установлено, что заданная система является устойчивой. Практическая работа № 2 Исследование частотных характеристик типовых динамических звеньев Цель работы: определение динамических свойств элементарных звеньев и показателей качества переходного процесса по полученным частотным характеристикам. 1 Общие сведения Частотной характеристикой называется реакция звена (системы) на синусоидальное входное воздействие. Отношение выходного сигнала к входному при подаче на вход синусоидальной функции называется частотной передаточной функцией или амплитудно-фазовой характеристикой (АФЧХ). где P(ω) – вещественная часть амплитудно-фазовой характеристики; Q(ω) – мнимая часть амплитудно-фазовой характеристики. Так же, как и передаточная функция ω(s), частотная передаточная функция представляет собой отношение выходной координаты к входной. Только в первом случае это отношение рассматривается в изображениях по Лапласу, а во втором случае – в виде отношения гармонических сигналов в показательной форме: где φ(ω) – аргумент частотной передаточной функции или фазовая характеристика. Амплитудной характеристикой называется зависимость амплитуды выходного сигнала от частоты. Фазовой характеристикой называется зависимость сдвига фаз выходного сигнала от частоты по отношению к входному. Удобной формой представления частотных характеристик являются логарифмические частотные характеристики, состоящие из логарифмической амплитудной характеристики (ЛАХ) и логарифмической фазовой характеристики (ЛФХ). Логарифмическая амплитудная характеристика апериодического звена представляется в виде Единицей измерения амплитуды на выходе звена (системы) является децибел. Один бел соответствует увеличению мощности сигнала в 10 раз, два бела – в 100 раз. Децибел равен одной десятой части бела. Частота ω в логарифмических частотных характеристиках измеряется в декадах. Одна декада соответствует изменению частоты в 10 раз. Фазовый сдвиг φ(ω) при построении в логарифмическом масштабе остается в тех же единицах (в радианах или в градусах). Логарифмической амплитудной характеристикой (ЛАХ) называется зависимость относительной амплитуды, выраженной в децибелах, от частоты, выраженной в декадах. Логарифмической фазовой характеристикой (ЛФХ) называется зависимость фазового сдвига, выраженного в радианах или в градусах, от частоты, выраженной в декадах:

2 Определение динамических свойств звеньев по частотным характеристикам

Рассмотрим частотные характеристики системы первого порядка, передаточная функция которой имеет вид: Чтобы разделить комплексное число на действительное необходимо вещественную часть и комплексную часть поделить на эти числа: Построим график амплитудно-фазовой характеристики (АФЧХ) зависящей от частоты колебаний (ω): Амплитудная и фазовая характеристики определяются выражениями. Амплитудная характеристика: Фазовая характеристика: Рассчитаем логарифмическую амплитудную характеристику (ЛАХ):

3 Определение показателей качества переходного процесса по логарифмическим частотным характеристикам

По полученным графикам ЛАХ и ЛФХ определяем основные динамические характеристики элементарных звеньев: – время переходного процесса, σ% – перерегулирование, – период колебаний при переходном процессе, δ – статическая ошибка регулирования. Время переходного процесса при δ = 0,05 определяется по формуле Вывод: исследованы частотные характеристики типовых динамических звеньев, определены динамические свойства звеньев по частотным характеристикам, определены показатели качества переходного процесса по логарифмическим частотным характеристикам.