Эксперт по сдаче вступительных испытаний в ВУЗах
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА ПО ПЕРИОДУ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ.
Методические указания
к лабораторной работе № 5
Цель работы – определить момент инерции диска, совершающего крутильные колебания и логарифмического декремента затухания.
Общие сведения
Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси определяется как
, (5.1)
где – соответственно масса материальной точки и ее расстояние до оси вращения.
Момент инерции твердого тела определяют опытным путем, используя крутильные колебания. Если подвесить тело на упругой нити (проволоке) и, закрутив нить, предоставить систему самой себе, то она будет совершать крутильные колебания около положения равновесия.
Если амплитуда крутильных колебаний мала, то момент упругой силы
M нити прямопропорционален углу кручения :
, (5.2)
где
C – модуль кручения, зависящий от материала проволоки и численно равный моменту пары сил, под влиянием которой проволока закручивается на угол в 1 радиан.
Модуль кручения имеет большое практическое значение при решении различных задач строительной механики.
С другой стороны согласно основному закону вращательного движения
, (5.3)
где – угловое ускорение,
I – момент инерции тела.
Так как , выражение (3) можно переписать в виде:
. (5.4)
На основании (5.2) и (5.4) получим дифференциальное уравнение, описывающее крутильные колебания,
. (5.5)
Решение этого уравнения имеет вид:
, (5.6)
где – амплитуда крутильных колебаний (максимальный угол поворота);
T – период колебаний;
– начальная фаза колебаний.
Угловое ускорение может быть рассчитано как:
. (5.7)
Подставив выражение (7) в формулу (3), получим:
. (5.8)
Приравнивая правые части выражения (5.2) и (5.8), выведем формулу для периода крутильных колебаний
. (5.9)
Если присоединить к первому телу второе, имеющее момент инерции , то общий момент инерции подвешенных тел станет равным , а период колебаний теперь будет
. (5.10)
Исключив
C из (10) и (9), получим:
,
откуда
. (5.11)
Таким образом, если известен момент инерции присоединенного тела, то можно определить момент инерции основного тела. Присоединенное тело выбирается простой формы, например, в виде кольца, и его момент инерции определяется вычислением.
Описание установки
Установка состоит из вертикальной стальной проволоки, закрепленной на штативе, прикрепленного к ней массивного диска, момент инерции которого требуется определить и кольца, которое может устанавливаться на диске. Масса кольца указана на его корпусе.
Измерительные приборы: секундомер, штангенциркуль.
Порядок выполнения работы.
- I. Определение периода крутильных колебаний Т диска и Т1 диска с кольцом.
- Повернуть диск на угол 20о от исходного положения и отпустить, одновременно включив секундомер. Отсчитав n полных колебаний, в течение которых угловая амплитуда уменьшится в 2 раза (с 20о до 10о), выключить секундомер. Определить период колебаний по формуле .
Опыт повторить 5 раз, результаты записать в таблицу 1.
- Положить кольцо на диск так, чтобы их оси совпадали. Способом, описанным в п. I, определить период колебаний диска с кольцом .
- II. Определение момента инерции кольца I1 и момента инерции диска I.
- Измерить штангенциркулем внутренний и внешний диаметры кольца (d и D). При известной массе кольца его момент инерции определяется как
, (5.12)
где
, .
По формуле (5.11) вычислить момент инерции диска.
Результаты расчетов занести в таблицу 1.
Таблица 1
| №
п/п |
Диск |
Диск с кольцом |
, кг |
|
|
| n |
t,с |
T.с |
|
,с |
,с |
| 1
2
3
4
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| D = м, d = м
= , кг |
|
|
Рассчитать абсолютную и относительную погрешности момента инерции диска.
III. Определение логарифмического декремента затухания.
- Используя данные, полученные в п.1, можно вычислить логарифмический декремент затухания, т.е. натуральный логарифм отношения двух амплитуд, взятых в моменты времени, отличающиеся на период.
,
где – амплитуда затухающих колебаний,
– амплитуда в момент времени
t=0,
– коэффициент затухания.
- При небольших колебаниях диска можно считать угол поворота пропорциональным амплитуде. Для нашего опыта ; , т. к. .
Прологарифмировав, получим
, , (5.13)
где
n – число колебаний, при котором начальная амплитуда уменьшается вдвое.
Таблица 2.
Рассчитать логарифмический декремент для диска по формуле (5.13)и данные занести в табл. 2.
Рассчитать абсолютную и относительную погрешности .
Записать окончательные результаты и вывод к работе.
В выводе отразить следующее:
1) Перечислить измеренные и рассчитанные величины.
2) Указать, в каком доверительном интервале и с какой вероятностью находятся истинные значения рассчитанных величин.
