Лабораторная работа по дисциплине «Механика» для СПбГАСУ

определение моментов инерции параллелепипеда методом КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ Цель работы – изучить метод крутильных колебаний на примере измерения главных моментов инерции прямоугольного параллелепипеда и рассчитать моменты инерции параллелепипеда относительно разных осей. Общие сведения Расчет момента инерции твердого тела представляет собой достаточно сложную задачу. Часто момент инерции определяется экспериментально различными способами. В данной работе использован метод крутильных колебаний. Пусть тело закреплено в рамке, висящей на упругой нерастяжимой нити так, что направление нити проходит через центр тяжести тела и рамки (рис.5а.1).

Рамку поворачивают в горизонтальной плоскости на некоторый угол . В результате деформации кручения нити возникает упругая сила. Она создает вращающий момент М, стремящийся вернуть систему в исходное состояние. В результате возникают крутильные колебания. При небольших отклонениях от положения равновесия вращающий момент М пропорционален углу : .

Рис.5а.1

Знак «–» показывает, что положительное направление момента соответствует уменьшению угла закручивания. Коэффициент пропорциональности D называют модулем кручения. Он зависит от упругих свойств материала нити. Если пренебречь силами сопротивления, то основное уравнение динамики вращательного движения записывается в виде ,                                                 (5а.1) где – общий момент инерции тела и рамки. Учитывая, что угловое ускорение , (1) можно привести к виду уравнения гармонических колебаний: .                                              (5а.2) Решением уравнения (5А.2) является гармоническая функция (воспользуемся, например, синусом) где использовано обозначение ,                                                (5а.3) Здесь  – амплитудное значение угла отклонения;  – начальная фаза,  – циклическая частота. Циклическая частота связана с периодом : . Таким образом, период крутильных колебаний .                                               (5а.4) Если модуль кручения  материала нити неизвестен, для его исключения из формулы (5а.5) следует провести измерения периода колебаний с телом, момент инерции которого легко рассчитывается. Таким телом может быть, например, куб, все главные моменты инерции которого одинаковы и равны (5а.5) Пусть  – рассчитанный момент инерции куба;  – неизвестный момент инерции рамки; – измеряемый момент инерции параллелепипеда относительно некоторой оси. Тогда на основании формулы (5а.4) получим ,                (5а.6) где  – период колебаний рамки;  – период колебаний рамки с укрепленным в ней кубом; – период колебаний рамки с укрепленным параллелепипедом. Исключив из уравнений (5а.6) D и , получим расчетную формулу: .                                                   (5а.7) Описание установки   Установка представляет собой вертикальную колонку, укрепленную на массивном основании. Между верхним и нижним кронштейнами колонки натянута стальная проволока, на которой подвешена рамка. На среднем кронштейне закреплена стальная пластина, являющаяся основанием для фотоэлектрического датчика, электромагнита и шкалы. Положение электромагнита относительно фотодатчика указано стрелкой на шкале. В процессе колебаний крутильного маятника стрела рамки прерывает световой поток. Электронная схема, включающая в себя фотодатчик, генерирует импульсы,  которые подаются  на  электронный счетчик и миллисекундомер.           Порядок выполнения: 1) Включить установку в сеть (на индикаторах секундомера должны высвечиваться «0»); 2) повернув рамку прибора, зафиксировать стрелу на электромагните; 3) нажать клавиши «Сброс» и затем «Пуск»; 4) после совершения  колебаний (можно взять ) нажать кнопку «Стоп»; считать по индикаторам число колебаний и время  в секундах. Целесообразно сразу вычислять период колебания: , где  N – число колебаний; записать значение  в табл.5а.1; 5) отжать клавишу «Пуск», зафиксировать стрелу рамки на электромагните, сбросить результаты измерений нажатием клавиши «Сброс»; 6) нажатием клавиши «Пуск» вновь запустить измерение; 7) повторить не менее 10 раз пп.4–6; целесообразно использовать одно и то же число колебаний в каждом измерении; 8) установить в рамку куб и повторить пп.2–6 не менее 10 раз; результаты измерений периода колебаний рамки с кубом  записывать в табл.5а.1; 9) установить в рамку параллелепипед и повторить пп.2–6 не менее 10 раз Период колебаний параллелепипеда измерить для трех взаимно перпендикулярных осей, для чего параллелепипед следует устанавливать соответственно. Результаты измерений периода колебаний рамки с параллелепипедом  записывать в табл.5а.1. Таблица 5а.1

№ измер.	, с	, с	, с	, с	, с
1
2
…
10
Средние значения

Обработка результатов измерений

1. Используя значения массы и длины ребра куба (приведены на лабораторном столе), вычислить момент инерции куба по формуле (5а.5).
2. Подставляя в формулу (5а.7) средние значения периодов , рассчитать экспериментальные значения главных моментов инерции параллелепипеда ; записать полученные значения в табл.5а.2.
3. Провести расчет погрешностей. Удобно сначала рассчитать относительную ошибку, а затем абсолютную. Согласно теории погрешности (необходимо уметь выводить это соотношение)

  (5а.8) где – погрешности измерения периода, включающие в себя случайную и приборную составляющие. При измерении времени автоматическим электронным секундомером приборная погрешность, как правило, значительно ниже, чем случайная. Следовательно, можно ограничиться только случайной погрешностью, которая рассчитывается как средняя квадратичная с учетом коэффициента Стьюдента : 5а.9) где – число измерений; – среднее значение соответствующего периода колебаний;  – значение периода, в  измерении. и  – погрешности массы и длины ребра куба соответственно. Значения массы и длины ребер с погрешностями приведены на лабораторном столе. Абсолютная погрешность вычисляется через относительную: (5а.10) где относительная погрешность момента инерции, стоящая в скобках, вычислена согласно (5а.8), а среднее значение  получено по (5а.7). Расчеты погрешностей следует провести для всех трех моментов инерции параллелепипеда, а окончательные результаты представить в  табл.5а.2  в виде .

4. Если тело представляет собой однородный прямоугольный параллелепипед со сторонами a, в,  с  (рис.5а.2), то его главные моменты инерции

Подставив (5а.10) в (5а.9) получим  

	(5а.11)
Рис.5а.2

Здесь оси х, у и z проходят через центр масс перпендикулярно граням со сторонами соответственно bс, ас и аb. Используя значения массы и длины ребер (приведены на лабораторном столе), рассчитать значения моментов инерции параллелепипеда по теоретическим формулам (5а.11) и записать их в табл.5а.2 Таблица 5а.2

Момент  инерции	Экспериментальное значение (7),	Расчетное значение (5а.11),

5. Записать вывод к работе по следующим пунктам.

а) перечислить, какие величины измеряли и рассчитывали. б) указать в каком доверительном интервале и с какой вероятностью находятся истинные значения моментов инерции параллелепипеда  ,  ,  . в) убедиться совпадают ли расчетные и экспериментальные значения моментов инерции в пределах погрешности.   Контрольные вопросы

1. Что такое момент инерции материальной точки и твердого тела? В чем заключается физический смысл момента инерции?
2. От чего зависит момент инерции любого тела? Как рассчитывается момент инерции параллелепипеда и куба?
3. Что такое крутильные колебания? Какими уравнениями они описываются?
4. От чего зависит период крутильных колебаний? Что такое модуль кручения?
5. Как определить момент инерции методом крутильных колебаний?
6. Для чего проводятся измерения периода колебаний рамки с кубом?
7. Почему Т и Т₀ много больше периода рамки ?
8. Как выводится формула погрешности (5а.8)?