Эксперт по сдаче вступительных испытаний в ВУЗах
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА
Цель работы – изучение законов движения твердого тела на примере маятника Максвелла; определение момента инерции твердых тел.
Общие сведения
Момент инерции тела является мерой инертности тела при вращательном движении. Момент инерции зависит от распределения массы тела относительно оси вращения. Для определения момента инерции относительно данной оси тело мысленно разбивается на элементы, малые настолько, что их можно рассматривать как материальные точки массой . Момент инерции материальной точки определяется . Тогда момент инерции тела относительно некоторой оси
(7.1)
где – расстояние от элемента до выбранной оси. В интегральной форме
(7.2)
– плотность вещества в элементе объема , находящемся на расстоянии
r от оси.
Для моментов инерции диска и кольца относительно оси, приходящей через центр масс перпендикулярно основанию или плоскости кольца, интегрирование дает
для цилиндра массой
m и радиусом
R (относительно оси, проходящей перпендикулярно основанию через его центр)
(7.3)
дл кольца массой
m, внутренним радиусом
r и внешним радиусом
R
(7.4)
Маятник Максвелла представляет собой однородный диск
C, укрепленный на металлическом стержне
D (рис.7.1). За концы этого стержня маятник прикрепляется бифилярно (с помощью двух нитей) к кронштейну.
|
При подготовке маятника к измерению нити тщательно, виток к витку, наматываются на стержень в направлении от его концов к диску. После освобождения маятника нити разматываются. Таким образом возникает поступательное движение маятника вниз и вращательное |
| Рис.7.1 |
– вокруг продольной оси симметрии (ось ОО´, рис.7.1). Вращение продолжается по инерции в низшей точке. Это приводит к повторному наматыванию нити на стержень, и диск поднимается. Так возникают колебания диска в вертикальной плоскости, что и дает основание называть данное устройство маятником.
Движение маятника описывается двумя уравнениями динамики. Для поступательного движения центра масс, пренебрегая силами трения, имеем ( – сила натяжения каждой нити; предполагается, что нити одинаковы, поэтому сила удваивается – рис.7.1а). в проекции на ось Оy, направленную вертикально вниз, получаем
(7,5)
Вращательное движение твердого тела описывается основным уравнением динамики вращения оси ОО’
( – результирующий момент сил относительно оси О О’;
e – угловое ускорение; – момент инерции тела относительно той же оси). Для маятника отличный от нуля момент относительно оси ОО´ (рис.7.1б) имеют только силы натяжения. Таким образом,
где – радиус стержня маятника.
Уравнение динамики вращательного движения приобретает вид
(7.6)
Свяжем угловое ускорение тела и тангенциальное ускорение точки на поверхности стержня (например,
А)
В отсутствие проскальзывания нити по стержню тангенциальное ускорение точки
А равно линейному ускорению точки
О
(7.7)
Объединяя (7.5)–(7.7), получим
Для равнопеременного движения связь между путем
h и временем
t в случае отсутствия начальной скорости может быть записана в виде . Выразим ускорение . Итак, для момента инерции окончательно получаем
(7.8)
(
m – полная масса маятника; – радиус стержня).
В работе определяется момент инерции маятника Максвелла, масса которого изменяется с помощью колец различных радиусов и масс.
Описание установки
Общий вид установки представлен на рис.7.2. В основании
1 закреплена колонка
2, к которой прикреплен неподвижно верхний кронштейн
9 и подвижный нижний кронштейн
7. На верхнем кронштейне находится электромагнит
10, а на нижнем кронштейне – фотоэлектронный датчик
3.
| Маятник представляет собой диск 5, закрепленный на оси 6, подвешенной на двух нитях 4 (бифилярный подвес). На диск можно насаживать сменные кольца 11, изменяя таким образом момент инерции системы.
Маятник удерживается в верхнем положении электромагнитом 10. Фотоэлектрический датчик 3 соединен с электронным хронометром 8. Момент прерывания тока в электромагните (т. е. момент начала движения маятника) синхронизирован с запуском отсчета времени. Момент пересечения нижним краем кольца опти- |
|
| Рис.7.2 |
ческой оси фотодатчика (момент окончания движения вниз) синхронизирован с остановкой отсчета времени. Электромагнит при этом снова автоматически приводится в действие.
Длину нитей можно регулировать барабаном
14, который фиксируется винтом
15. Положение нижнего кронштейна на колонке должно быть отрегулировано в зависимости от длины нитей. Для этого ослабляется фиксирующий винт
12, и кронштейн
7 устанавливается так, чтобы нижний край маятника
с надетым на него кольцом находился несколько ниже оси фотодатчика. После этого винт
12 затягивается.
Путь, проходимый маятником, можно определить по миллиметровой шкале
13, расположенной вдоль колонки.
Порядок выполнения
- Нажать кнопку «Сброс», убедиться, что на индикаторе установились нули.
- Намотать на ось маятника нить подвески, обращая внимание на то, чтобы она наматывалась равномерно, виток к витку: в верхнем положении маятник должен быть зафиксирован электромагнитом.
- Привести маятник в движение нажатием кнопки «Пуск»; в момент пересечения маятником оптической оси фотодатчика хронометр будет автоматически остановлен. Снять отсчет времени движения маятника по индикатору хронометра со всей возможной точностью (до 0,001 с).
- Измерить внутренний и внешний диаметры кольца штангенциркулем, оценить приборную погрешность.
- Повторить пп.4–6 еще девять раз.
По шкале измерить путь маятника.
По результатам измерений рекомендуется заполнить табл.1.
Таблица 1
| Масса кольца, г, |
№ измерения |
, с |
, с |
, с2 |
| Радиусы кольца, мм
внутр.
внешн.
Радиус стержня
|
1
2
:
N |
|
|
|
| Путь маятника, мм
|
|
, с |
|
|
Обработка результатов эксперимента
- Рассчитать среднее арифметическое значение времени движения маятника и внести его в таблицу.
- Рассчитать момент инерции маятника по формуле (7.8).
- Вычислить суммарную погрешность времени
где
а = 0,001 с.
- Вычислить погрешности момента инерции (относительную и абсолютную)
(7.9)
= 0,5 г
= 0,05 мм
– по формуле
= 0,5 мм
- Проверить экспериментальное значение момента инерции расчетом. Значение момента инерции маятника можно получить, суммируя моменты инерции составляющих его тел
(7.10)
где – момент инерции основания маятника, – момент инерции кольца, надетого на диск,
(7.11)
- Записать окончательный результат и вывод к работе по пунктам:
а) перечислить, что измерялось и рассчитывалось в работе;
б) указать рассчитанное значение момента инерции кольца;
в) указать в каком доверительном интервале находится истинное значение момента инерции маятника и с какой вероятностью;
г) сравнить значения
J, рассчитанные по формулам (7.10) и (7.8) и проанализировать причины несовпадения, если они есть.
Контрольные вопросы
- Что такое момент инерции материальной точки?
- Что такое момент инерции твердого тела? От чего зависит его величина?
- Как рассчитывается момент инерции диска, момент инерции кольца?
- Что представляет собой маятник Максвелла? Какой характер имеет его движение?
- Какими уравнениями динамики описывается движение маятника Максвелла?
- Какие силы вызывают поступательное движение маятника? Момент каких сил вызывает вращательное движение маятника?
- Как определяется момент силы относительно точки и момент силы относительно оси?
- Как определяется энергия в случае вращательного и поступательно-вращательного движения?
- Как вывести формулу для определения момента инерции маятника Максвелла, используя закон сохранения энергии?
- В чем состоит упрощающее предположение, принятое при выводе расчетной формулы? Какое значение – завышенное или заниженное – получается в этом приближении?
- Можно ли, и каким образом, повысить точность измерений за счет выбора параметров экспериментальной установки?
- Как выводится формула (7.9) для расчета погрешности момента инерции?
- Погрешности каких величин вносят определяющий вклад в погрешность момента инерции?
Ссылка на первоисточник:
http://www.rsuh.ru
