Лабораторная работа по электронике, электротехнике, радиотехнике (Вариант 34)

Составим систему уравнений по законам Кирхгофа: Для расчета неизвестных токов в ветвях необходимо составить систему уравнений Кирхгофа, количество уравнений должно быть равно количеству неизвестных токов (в данной схеме 5 неизвестных токов, следовательно, в системе должно быть 5 уравнений). По первому закону Кирхгофа уравнений необходимо составить на 1 меньше числа узлов (в схеме 4 узла, следовательно, 3 уравнения по 1 закону Кирхгофа). Остальные уравнения по второму закону Кирхгофа ( их будет два). Направления токов в ветвях указали произвольно. I5 – I3 – I4 = 0 – для узла а – J + I3 + I2 = 0 – для узла b I4 + I6 – I2 = 0 – для узла с I3R3 – I4R4 – I2R2 = E2 – E4 – E3 – для 1 контура I6R6 – I4R4 – I5R5 = E5 – E4 – E6 – для 2 контура Рассчитаем величину токов, применив для расчета метод контурных токов: Произвольно выбираем направления контурных токов. Система уравнений: I1k ∙ ( R2 +R4 +R3 ) + I2k ∙ R4 + I3k ∙ R3 = E2 – E4 – E3 I2k ∙ ( R4 +R5 +R6 ) + I1k ∙ R4 – I3k ∙ R5 = E5 – E4 – E6 I3k = J Решим систему уравнений и рассчитаем контурные токи: I1k ∙ ( 18 +10+15) + I2k ∙ 10 + I3k ∙ 15 = 100 – 60 – 70 I2k ∙ ( 10 +8 +15) + I1k ∙ 10 – I3k ∙ 8 = 70 – 60 – 65 I3k = 6 I1k ∙ 43 + I2k ∙ 10 + 6 ∙ 15 = – 30 I2k ∙ 33 + I1k ∙ 10 – 6 ∙ 8 = – 55 I1k ∙ 43 + I2k ∙ 10 = – 120 I2k ∙ 33 + I1k ∙ 10 = – 7 I2k = – 12 – I1k ∙ 4,3 (– 12 – I1k ∙ 4,3)∙ 33 + I1k ∙ 10 = – 7 – I1k ∙ 141,9 + I1k ∙ 10 = – 7 + 12∙ 33 – I1k ∙ 131,9 = 389 I1k = – 2,95 A I2k = – 12 – (– 2,95)∙ 4,3 = 0,682 A Контурный ток I1k отрицательный, значит, направлен в другую сторону: Токи в ветвях: I_1=J=6 А I_2=I_1k=2,95 А I_3=I_3k-I_1k=6-2,95=3,05 А I_4=I_1k-I_2k=2,95-0,682=2,268 А I_5=I_3k-I_2k=6-0,682=5,318 А I_6=I_2k=0,682 А Полученные значения п.2 подставим в уравнения п.1. Проверим выполнение законов Кирхгофа: I5 – I3 – I4 = 0 – J + I3 + I2 = 0 I4 + I6 – I2 = 0 I3R3 – I4R4 – I2R2 = E2 – E4 – E3 I6R6 – I4R4 – I5R5 = E5 – E4 – E6 5,318 – 3,05 – 2,268 = 0 – 6 + 3,05 + 2,95 = 0 2,268 + 0,682– 2,95 = 0 3,05*15– 2,268*10 – 2,95*18 = 100 – 60 – 70 0,682*15– 2,268*10 – 5,318*8 = 70 – 60 – 65 Выводы Законы Кирхгофа выполняются, значит, задача решена верно. Рассчитаем величину токов, применив для расчета метод узловых потенциалов. Примем потенциал точки d равным нулю. Е_4/R_4 -Е_5/R_5 =φ_a∙(1/R_4 +1/R_5 +1/R_6 )-φ_b∙1/R_6 -φ_c∙1/R_5 J-Е_1/R_1 =φ_b∙(1/R_1 +1/R_6 )-φ_a∙1/R_6 -φ_c∙1/R_1 Е_1/R_1 +Е_2/R_2 +Е_5/R_5 =φ_c∙(1/R_1 +1/R_2 +1/R_5 )-φ_b∙1/R_1 -φ_a∙1/R_5 65/13-85/18=φ_a∙(1/13+1/18+1/15)-φ_b∙1/15-φ_c∙1/18 12-85/25=φ_b∙(1/25+1/15)-φ_a∙1/15-φ_c∙1/25 85/25+120/12+85/18=φ_c∙(1/25+1/12+1/18)-φ_b∙1/25-φ_a∙1/18 0,2778=φ_a∙0,1991-φ_b∙0,0667-φ_c∙0,0556 8,6=φ_b∙0,1067-φ_a∙0,0667-φ_c∙0,04 18,122=φ_c∙0,1789-φ_b∙0,04-φ_a∙0,0556 ∆=|■(0,1991&-0,0667&-0,0556@-0,0667&0,1067&-0,04@-0,0556&-0,04&0,1789)|=0,0020596 ∆1=|■(0,2778&-0,0667&-0,0556@8,6&0,1067&-0,04@18,122&-0,04&0,1789)|=0,282464 ∆2=|■(0,1991&0,2778&-0,0556@-0,0667&8,6&-0,04@-0,0556&18,122&0,1789)|=0,4951997 ∆3=|■(0,1991&-0,0667&0,2778@-0,0667&0,1067&8,6@-0,0556&-0,04&18,122)|=0,4071333 φ_a=∆1/∆=0,282464/0,0020596=137,15 В φ_b=∆2/∆=0,4951997/0,0020596=240,43 В φ_c=∆3/∆=0,4071333/0,0020596=197,68 В Рассчитаем значения токов в ветвях по обобщенному закону Ома: I_1=(φ_b-φ_c+E1)/R1=(240,43-197,68+85)/25=5,11 A I_2=(φ_c-φ_d-E2)/R2=(197,68-0-120)/12=6,47 A I_3=J=12 A I_4=(φ_a-φ_d-E4)/R4=(137,15-0-65)/13=5,55 A I_5=(φ_a-φ_c+E5)/R5=(137,15-197,68+85)/18=1,36 A I_6=(φ_b-φ_a)/R6=(240,43-137,15)/15=6,885 A Составим баланс мощностей в общем виде и подставим полученные в п.1 токи. Р_потр=Р_ист Сумма мощностей потребителей: Р_потр=〖I_1〗^2∙R_1+〖I_2〗^2∙R_2+J^2∙R_3+〖I_4〗^2∙R_4+〖I_5〗^2∙R_5+〖I_6〗^2∙R_6 Р_потр=〖5,11〗^2∙25+〖6,47〗^2∙12+〖12〗^2∙11+〖5,55〗^2∙13+〖1,36〗^2∙18+〖6,885〗^2∙15=3 883,91 Вт Определим напряжение на источнике тока J: U_j=φ_b-φ_d+J∙R_3=240,43-0+12*11=372,43 B Сумма мощностей источников: Р_ист=Е1∙I_1-Е2∙I_2-Е4∙I_4+Е5∙I_5+U_j∙J= =85∙5,11-120∙6,47-65∙5,55+85∙1,36+372,43∙12=3 881,96 Вт Выводы Баланс мощностей выполняется: сумма мощностей источников равна сумме мощностей потребителей. Схема с учетом реальных элементов электрической цепи Система уравнений по законам Кирхгофа Так как ток i_2 равен j , следовательно в схеме два неизвестных тока. Поэтому чтобы определить два неизвестных тока составим систему двух уравнений: i_1 (t)+j(t)+i_3 (t)=0 e_4 (t)+e_5 (t)-e_1 (t)-e_2 (t)=i_3 (t)∙R_4+i_3 (t)∙R_5-i_1 (t)∙R_2-L_1∙(di_1 (t))/dt Расчет величин индуктивностей и ёмкостей L_1=X_L1/(2∙π∙f)=10/(2∙3,14∙100)=0,01592 (Гн)=15,92 (мГн) L_3=X_L3/(2∙π∙f)=15/(2∙3,14∙100)=0,02389 (Гн)=23,89 (мГн) Выполним подстановку с учетом значений из исходных данных E_m=E∙√2 ω=2∙π∙f=2∙3,14∙100=628 (рад/сек) e_1 (t)=6∙√2∙sin⁡〖(628∙t+45°)〗 e_2 (t)=10∙√2∙sin⁡〖(628∙t+15°)〗 e_4 (t)=6∙√2∙sin⁡〖(628∙t+15°)〗 e_5 (t)=7∙√2∙sin⁡〖(628∙t+60°)〗 j(t)=6∙√2∙sin⁡〖(628∙t+60°)〗 i_1 (t)+6∙√2∙sin⁡〖(628∙t+60°)〗+i_3 (t)=0 6∙√2∙sin⁡〖(628∙t+15°)〗+7∙√2∙sin⁡〖(628∙t+60°)〗-6∙√2∙sin⁡〖(628∙t+45°)〗- -10∙√2∙sin⁡〖(628∙t+15°)〗=i_3∙10+i_3∙8-i_1∙18-0,01592∙(di_1 (t))/dt График e_2 (t)=10∙√2∙sin⁡〖(628∙t+15°)〗 Система уравнений по законам Кирхгофа в символической форме Так как ток I_2 равен J , следовательно в схеме два неизвестных тока. Поэтому чтобы определить два неизвестных тока составим систему двух уравнений: I ̇_1+J ̇+I ̇_3=0 E ̇_2+E ̇_3+E ̇_4+E ̇_5=I ̇_1∙R_2+I ̇_1∙R_5-I ̇_3∙(-jX_C3 )-I ̇_3∙R_4 где E ̇_2=60∙e^(j90°)=j60 E ̇_3=80∙e^(j60°)=40+j69,28 E ̇_4=85∙e^(j30°)=73,61+j42,5 E ̇_5=75∙e^(j30°)=64,95+j37,5 J ̇=10∙e^(j45°)=7,07+j7,07 расчет токов в ветвях методом контурных токов Выбираем произвольное направление контурных токов. I1k Z11 + I2k Z12 = E11 I1k Z21 + I2k Z22 = E22 Учитывая, что I2k = J, необходимо решить одно уравнение и определить контурный ток I1k . I1k ∙ Z11 + J ∙ Z12 = E11 Собственное сопротивление контура: Z11 = R2 + R4 + R5 – jXC3 Общее сопротивление контуров: Z12 = R4 – jXC3 Контурная ЭДС: E11 = E2 + E3 + E4 + E5 Рассчитаем: I1k ∙ (R2 + R4 + R5 – jXC3 ) + J ∙ (R4 – jXC3 ) = E2 + E3 + E4 + E5 I_1k=(j60+(40+j69,28)+(73,61+j42,5)+(64,95+j37,5)-(7,07+j7,07)∙(16-j20))/(12+16+20-j20) I_1k=-3,106+j3,65 Рассчитаем токи в ветвях: I_1=I_1k=-3,106+j3,655 I_2=J=7,07+j7,07 I_3=-I_1k-J=-(-3,106+j3,655)-(7,07+j7,07)=-3,964-j10,725 Выполним проверку, подставим значения токов в систему уравнений пункта 3: I ̇_1+J ̇+I ̇_3=0 E ̇_2+E ̇_3+E ̇_4+E ̇_5=I ̇_1∙R_2+I ̇_1∙R_5-I ̇_3∙(-jX_C3 )-I ̇_3∙R_4 -3,106+j3,655+7,07+j7,07-3,964-j10,725=0 j60+(40+j69,28)+(73,61+j42,5)+(64,95+j37,5)=178.56+j209.28 (-3,106+j3,655)∙12+(-3,106+j3,655)∙20-(-3,964-j10,725)∙(-j20)-(-3,964-j10,725)∙16= =178.532+j209.28 Выводы: Выполнен расчет токов методом контурных токов. При подстановке рассчитанных значений токов в уравнения, составленные по законам Кирхгофа, получились верные равенства. Значит расчет выполнен верно.