Эксперт по сдаче вступительных испытаний в ВУЗах
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Глава 1. Определители второго и третьего порядков
.
1. 5050;
2. −63−63;
3. −2b2−2b2.
Глава 3. Аналитическая геометрия
3.1 Прямая на плоскости
1. 3x−4y+12=03x−4y+12=0;
2. (1,4)(1,4), (−5,12)(−5,12);
3. C=18C=18;
4. 2x+y+6=02x+y+6=0, 2x+y−6=02x+y−6=0;
5. 3x−4y+7=03x−4y+7=0, 4x+3y−24=04x+3y−24=0;
6. 4;
7. 5x+3y−42=05x+3y−42=0;
8. 39x−9y−4=039x−9y−4=0;
9. 4x−y−6=04x−y−6=0, x+4y−10=0x+4y−10=0;
10. x−3y+10=0x−3y+10=0, x−3y=0x−3y=0,
3x+y−10=03x+y−10=0, 3x+y=03x+y=0,
x+2y−5=0x+2y−5=0, 2x−y=02x−y=0.
3.2 Плоскость
1. l=3l=3, m=−4m=−4;
2. π/4π/4 и 3π/43π/4;
3. 2x−y−3z−15=02x−y−3z−15=0;
4. x−2z=0x−2z=0;
5. x+2y−z−8=0x+2y−z−8=0;
6. 383–√383;
7. 2x+y−4z+17=02x+y−4z+17=0, 2x+y−4z−25=02x+y−4z−25=0;
8. 5x−y−3z+6=05x−y−3z+6=0;
9. (0,−2,0)(0,−2,0);
10. 3.
3.3 Прямая в пространстве
1. x+35=y−21=z−57x+35=y−21=z−57;
2. x=14t+3x=14t+3, y=−2t−2y=−2t−2, z=3tz=3t;
3. 3;
4. 900900;
5. (1,−2,−1)(1,−2,−1);
6. {43,23,−8}{43,23,−8};
7. {−7,2,−7}{−7,2,−7};
8. 5;
9. (3,0,−4)(3,0,−4);
10. (4,1,−3)(4,1,−3).
3.4 Кривые второго порядка
1. (2,−4)(2,−4), R=5R=5;
2. (x−2)2+(y−4)2=10(x−2)2+(y−4)2=10;
3. 16;
4. 16x−4y+17=016x−4y+17=0;
5. M0(6,6)M0(6,6), d=35–√d=35;
6. 12;
7. x+y−1=0x+y−1=0, x−y+7=0x−y+7=0,
φ=900φ=900.
Глава 4. Основы линейной алгебры
4.1.2 Вычисление определителя n-го порядка
1.
1. а) -9;
2. б) 10;
2. 52.
4.1.4 Решение матричных уравнений
1.
1. а) (19967)(19697);
2. б) (113110)(111130);
2. AB=(28−19)AB=(2−189), BA=⎛⎝⎜2227−5109−1114⎞⎠⎟BA=(2792−5−1121014);
3. (304305−61−62)(304−61305−62).
4.1.5 Линейная зависимость между столбцами матрицы. Понятие о ранге матрицы
1. r=3r=3;
2. при λ=3λ=3 ранг равен 2, при λ≠3λ≠3 ранг равен 3.
4.2.3 Системы линейных однородных уравнений
1. (1/3,0,0,1)(1/3,0,0,1);
2. строки матрицы AA не образуют фундаментальную систему решений, строки матрицы BB образуют.
4.3.4 Евклидовы линейные пространства
1. x1=−27x′1−71x′2−41x′3×1=−27×1′−71×2′−41×3′, x2=9x′1+20x′2+9x′3×2=9×1′+20×2′+9×3′, x3=4x′1+12x′2+8x′3×3=4×1′+12×2′+8×3′;
2.
1. а) поменяются местами две строки;
2. б) поменяются местами два столбца;
3. в) произойдет транспонирование матрицы;
3. x¯¯¯=(2,−2,0)x¯=(2,−2,0).
4.3.5 Линейный оператор и его матрица
1. A=⎛⎝⎜1010−11110⎞⎠⎟A=(1010−11110);
2. A=(0110)A=(0110);
3. (−2,0)(−2,0).
4.3.7 Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
1. 1) ⎛⎝⎜200020001⎞⎠⎟(200020001), ⎛⎝⎜200010002⎞⎠⎟(200010002), ⎛⎝⎜100020002⎞⎠⎟(100020002);
2. 3)
1. а) эллипс;
2. б) парабола;
3. в) гипербола.
Глава 5. Математический анализ
5.6 Особые случаи пределов и неопределенности
1. 1/2;
2. 1;
3. 0;
4. 2/3;
5. не существует;
6. 1;
7. 2;
8. 0;
9. 1;
10. 1/2;
11. 5/2.
5.7.3 Примеры на вычисление пределов функций
1. 2/32/3;
2. −2−2;
3. −16/7−16/7;
4. 2/32/3;
5. не существует;
6. −1/56−1/56;
7. −4/3–√−4/3;
8. f(0−0)=1f(0−0)=1, f(0+0)=−1f(0+0)=−1;
9. 15/215/2.
5.7.4 Первый замечательный предел
1. 2;
2. 1/21/2;
3. 1/21/2;
4. −1/4−1/4;
5. 3–√/33/3;
6. 1;
7. 1/21/2;
8. −2–√/2−2/2;
9. cos4cos4.
5.7.5 Второй замечательный предел и его следствия
1. 2;
2. 1/e1/e;
3. 0;
4. ee;
5. 2;
6. log5elog5e;
7. 3;
8. 3/e3/e.
5.8 Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших
1.
1. а) 1;
2. б) 2;
3. в) 4;
2.
1. а) 3(x−1)23(x−1)2;
2. б) x−1x−1;
3. в) 1−x−−−−√32–√31−x323;
3.
1. а) k=2k=2, 1x21x2;
2. б) k=73k=73, x7/3×7/3;
3. в) k=3k=3, 5(x−1)35(x−1)3.
5.9.3 Примеры разрывных функций
1. x=−1x=−1 – точка устранимого разрыва;
2. разрыв второго рода в точке x=8x=8;
3. разрыв первого рода при x=1x=1;
4. в точке x1=−5×1=−5 устранимый разрыв, в x2=1×2=1 – разрыв второго рода и в точке x3=0x3=0 – разрыв первого рода;
5. A=2A=2;
6. нет.
5.10.3 Примеры вычисления производных
1. 1. 10;
2. 2. y=4x−6y=4x−6, y=−x4−74y=−x4−74;
3. 3.
1. y′=xx4−1y′=xx4−1;
2. y′=1x+ctgx−x1−x2y′=1x+ctgx−x1−x2;
3. y′=1xlnx⋅lnlnxy′=1xlnx⋅lnlnx;
4. y′=sinx⋅lntgxy′=sinx⋅lntgx;
5. y′=xx−12(lnx2+1)y′=xx−12(lnx2+1);
6. y′=th3xy′=th3x;
7. y′=log15e(1+x2)arctgxy′=log15e(1+x2)arctgx;
8. y′=−2log5ex(log5x)3y′=−2log5ex(log5x)3;
9. y′=2(x+1)2−−−−−−−√x⋅[1x(x+1)−ln(x+1)x2]y′=2(x+1)2x⋅[1x(x+1)−ln(x+1)x2];
10. y′=xsinx(sinxx+cosx⋅lnx)y′=xsinx(sinxx+cosx⋅lnx);
11. y′=arctgx3(arctgx3+6×9+x2)+2xcosx2y′=arctgx3(arctgx3+6×9+x2)+2xcosx2;
4. 4. b=c=0b=c=0.
5.10.5 Дифференциал функции
1.
1. а) dy=3×2(sin3x+xcos3x)dxdy=3×2(sin3x+xcos3x)dx;
2. б) dy=dxa2+x2dy=dxa2+x2;
3. в) dy=2−lnx2xx−−√dxdy=2−lnx2xxdx;
2.
1. а) dy=VωdU+UωdV+UVdωdy=VωdU+UωdV+UVdω;
2. б) dy=2UVdU−(UV)2dVdy=2UVdU−(UV)2dV;
3. в) dy=dU+dV2(U+V)dy=dU+dV2(U+V);
3. при Δx=1Δx=1, Δy=11Δy=11, dy=3dy=3, абсолютная погрешность 8, относительная 8/118/11; при Δx=0,1Δx=0,1, Δy=0,362Δy=0,362, dy=0,3dy=0,3, абсолютная погрешность 0,0620,062, относительная ≈1/5≈1/5; при Δx=0,01Δx=0,01, Δy=0,0306Δy=0,0306, dy=0,03dy=0,03, абсолютная погрешность 0,00060,0006, относительная 1/511/51;
4.
1. а) f(3,015)≈0,045f(3,015)≈0,045;
2. б) f(1,001)≈1,0015f(1,001)≈1,0015;
3. в) sin290≈0,4849sin290≈0,4849.
5.10.9 Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения
1. да;
2. нет;
3. нет;
4. да (в обоих случаях);
5.
1. а) maxmax при x=−2x=−2, minmin при x=2x=2;
2. б) экстремума нет;
6.
1. а) 4040 и −9−9;
2. б) 0 и 8;
7. наименьшее не существует, а наибольшее равно 1.
5.10.10 Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
1.
1. а) выпукла на (1,+∞)(1,+∞); вогнута на (−∞,1)(−∞,1); точка перегиба (1,0)(1,0);
2. б) точка перегиба (5,−5)(5,−5); выпукла на (5,+∞)(5,+∞) и вогнута на (−∞,5)(−∞,5).
5.10.11 Асимптоты кривой
1. 2)
1. а) x=0x=0, y=1y=1;
2. б) x=−1x=−1, y=x−1y=x−1;
3. в) x=0x=0, y=x+1y=x+1;
4. г) y=2x−π2y=2x−π2.
5.11.2 Предел и непрерывность функции двух переменных
1. 1)
1. а) 165;
2. б) −1−1;
3. в) e2e2;
2. 3)
1. а) непрерывна всюду;
2. б) разрывы на прямых x=0x=0 и y=0y=0;
3. в) разрывы на биссектрисах координатных углов y=±xy=±x;
4. г) разрывы на прямой y=0y=0.
5.11.6 Экстремум функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения
1. z′x=−2zx′=−2, z′y=4zy′=4;
2. dz=3dx+2dy3x+2ydz=3dx+2dy3x+2y;
3. z′′xx=0zxx″=0, z′′xy=11+y2zxy″=11+y2, z′′yy=−2xy(1+y2)2zyy″=−2xy(1+y2)2;
4. ∂3z∂x2∂y=−sin(x−y)∂3z∂x2∂y=−sin(x−y);
5. 24dy424dy4;
6. dudt=1ysinxy(xydxdt−dxdt)dudt=1ysinxy(xydxdt−dxdt);
7. ∂z∂u=yxey2x(−yx⋅∂x∂u+2∂y∂u)∂z∂u=yxey2x(−yx⋅∂x∂u+2∂y∂u), ∂z∂v=yxey2x(−yx⋅∂x∂v+2∂y∂v)∂z∂v=yxey2x(−yx⋅∂x∂v+2∂y∂v);
8. zmax(−23,0)=41727zmax(−23,0)=41727, zmin(1,0)=0zmin(1,0)=0, в точках (0,±2)(0,±2) нет экстремума;
9. zнaиб.(1,4/3)=2/9zнaиб.(1,4/3)=2/9; zнaим.=0zнaим.=0 на всей границе.
Ссылка на первоисточник:
http://priab.ru
