Интерполяционный многочлен Лагранжа

8. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Приближения функции. Введение. Аппроксимации граничных условий для дифференциального уравнения второго порядка. Порядок погрешности решения дифференциального уравнения второго порядка определяется и порядком аппроксимации гранич-ных условий. Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения (раздел 7) , удовлетворяющее двум краевым условиям (КУ): , (8.1) , где , — заданные числа. В частности, если , , то такое краевое условие называется условием первого рода. Если , , такое краевое условие называется условием второго рода. В общем случае , , краевое условие называется условием третьего рода. Пусть отрезок разбит на отрезков равномерным шагом и в точке , , . Найдем разностный аналог для производных (8.1): для второй производной А для первой первой производной на отрезке двух шагов имеем и уравнение (8.1) в конечно- разностном аналоге можно представить в виде , и в граничных точках слева и справа отрезка интегрирования имеем в точках и . Если разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки , то Пусть -непрерывная дифференцируемая функция, тогда можно получить следующие приближения для производных на границе: в точке , . (8.2) Аналогично в точке , . (8.3) Видим, что производные на границе аппроксимируются формулами (8.2) и (8.3) с первым порядком точности. Точность аппроксимации производных на границе (а следовательно и точность самого решения) можно повысить с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа. 8.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Приближения функции Пусть даны основные системы функций , доста-точно гладких и непрерывно дифференцируемых. Рассмотрим обобщенный многочлен (полином) в виде где постоянные коэффициенты. Постановка задачи о приближении: данную функцию требует-ся приближенно заменить (аппроксимировать) обобщенным полиномом так, чтобы отклонение функций и на заданном множестве было наименьшим. Это можно достичь подбором коэффициентов . При этом полином называется аппроксимирующим. Если множество состоит из отдельных точек , то приближение называется интегральным. В нашем случае , тогда (8.4) Требуется аппроксимировать функцию полиномом . Интерполяция функций. Считается, что и близкими (име-ющими малое отклонение), если они совпадают на заданной системе точек . Т. е. , . Полином называется интерполяционным, если и коэффици-енты определяются из системы уравнений. (8.5) Определитель этой системы называется определителем Вандермонда. Полином коэффициенты которого определяются системой (8.5), называется интерполяционным полиномом Лагранжа для и этот по-лином может быть записан в виде: . (8.6) При различных степенях имеем: ; ; ; . В соответствии с теоремой Виетта имеем Пример. Построить интерполяционный полином совпадающий с функцией в точках В этих точках . В качестве примера рассмотрим полином второй степени ( ), тогда искомый полином Из формулы Лагранжа имеем или И . При имеем . Калькулятор дает 1,732051. Таким образом с определенным приближением . 8.2. Погрешность интерполяции Пусть , где — остаточный член, погрешность интерполяции. Если относительно ничего не известно, кроме ее значения в узлах, то никаких полезных суждений относительно сделать нельзя. На основании теоремы Ролля о среднем можно получить выражение оста-точного члена в предположении, что т.е. определена на отрезке и имеет на нем непрерывные производные до порядка включительно, отрезок содержит все узлы интерполяции и произвольную точку : , (8.7) где , тогда Здесь — некоторая неизвестная точка. Оценим погрешность интерполяции в текущей точке : (8.8) где . И оценим максимальную погрешность интерполяции на всем отрезке : (8.9) Пример: Оценить погрешность приближения функции в точ-ке и на всем отрезке с помощью интерполяционного много-члена Лагранжа второй степени, построенного на узлах Имеем: , , . . Погрешность в точке составит: . А максимальная погрешность на всем отрезке : Так как в точке , следовательно в этой точке имеем экстремум. Можно показать, вторая производная в этой точке меньше нуля, т.е. в этой точке функция достигает максимума. Линейная интерполяция При интерполяция называется линейной. . Если ввести обозначения то , величина – называется фазой интерполяции, . При этом функция заменяется хордой Погрешность линейной интерполяции Оценка погрешности интерполяции в текущей точке : , И оценка максимальной погрешности интерполяции на всем отрезке : , и , . Следовательно, линейная интерполяция между двумя точками имеет второй порядок точности. Для аппроксимации граничных условий (8.1) , , воспользуемся квадратичным полиномом Лагранжа по трем точкам отрезка , полагая находим для производной на границе , , (8.10) аналогично для производной на границе , . (8.11) Формулы (8.10), (8.11) аппроксимируют первые производные на границе со вторым порядком точности. И они повышают точность решения дифферен-циального уравнения второго порядка. Пример расчета: пусть в соответствии с решением дифференциального уравнения (работа №7) получены решения в четырех точках отрезка. 0,9 1,421 1,1 1,152 1 1,296 1,2 1 Требуется построить гладкую функцию по четырем точкам, которые приведены в таблице. Т.е. требуется построить интерполяционный полином на отрезке , =0,9; =1; =1,1; =1,2. В этих точках =1,421; =1,296; =1,1152; =1 Интерполяционный полином Лагранжа для имеет вид: После подстановки и вычисления имеем y= = 1,83 — 6,45 + 6,037x — 0,124. Таким образом получаем решение дифференциального уравнения на всем отрезке интегрирования, рис. 8.1 Рис. 8.1