Автор статьи
Валерия
Эксперт по сдаче вступительных испытаний в ВУЗах
Программа экзамена по алгебре
(2 семестр)
- Тело. Поле. Подполе. Расширение поля. Свойства полей. Характеристика поля. Простое поле, его характеристика.
- Поле комплексных чисел. Его существование и единственность. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
- Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
- Основная теорема алгебры (без доказательства). Группа корней n-й степени из единицы.
- Понятие многочлена от одной переменной с коэффициентами из кольца K. Степень многочлена. Операции над многочленами. Кольцо многочленов K[x]. Кольцо многочленов над областью целостности.
- Деление многочлена с остатком на двучлен. Теорема Безу. Схема Горнера. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.
- Корни многочлена над полем Р. Кратность корня. Формулы Виета.
- Евклидовы кольца. Деление с остатком в кольце целых чисел Z и в кольце многочленов P[x].
- Понятие идеала кольца. Кольцо главных идеалов. Теорема о том, что всякое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов. Наибольший общий делитель в кольцах целых чисел и многочленов. Его существование и единственность.
- Алгоритм Евклида в кольцах Z и P[x]. Нахождение НОД 3-х и более элементов. Вычисление коэффициентов в линейном выражении НОД.
- Наименьшее общее кратное в кольцах целых чисел и многочленов. Связь НОД и НОК. Результант.
- Факториальное кольцо. Факториальность кольца главных идеалов. Разложение на простые множители в кольцах целых чисел и многочленов. Отыскание НОД и НОК с помощью разложения на простые множители.
- Дифференцирование многочлена. Изменение кратности неприводимого делителя при дифференцировании. Дискриминант.
- Неприводимые многочлены над полями С, R и Q. Критерий Эйзенштейна. Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами.
- Решение в радикалах алгебраических уравнений 3-й степени. Формула Кардано. Число действительных корней кубического уравнения с действительными коэффициентами.
- Решение в радикалах алгебраических уравнений 4-й степени. Метод Феррари.
- Границы действительных корней многочлена с действительными коэффициентами. Теорема Штурма. Приближенное вычисление действительных корней.
- Кольцо многочленов от нескольких переменных. Лексикографическое упорядочение. Отсутствие делителей нуля в кольце многочленов от нескольких переменных над областью целостности. Факториальность кольца многочленов от нескольких переменных над полем Р (без доказательства).
- Симметрические многочлены. Представление симметрического многочлена в виде многочлена от элементарных симметрических функций.
- Поле частных области целостности.
- Факторкольцо. Построение. Примеры. Теорема о гомоморфизмах колец.
- Конечные поля. Количество элементов и характеристика конечного поля. Существование и единственность конечного поля из pn элементов, p – простое, n – натуральное число. Свойства конечного поля. Построение конечного поля.
- Группы. Классы смежности по подгруппе. Индекс подгруппы. Порядок конечной группы делится на порядок ее подгруппы. Циклические подгруппы. Порядок конечной группы делится на порядок любого ее элемента. Примеры.
- Нормальные подгруппы и факторгруппы. Теорема о гомоморфизме групп.
О сайте
Ссылка на первоисточник:
http://www.sssu.ru
Поделитесь в соцсетях: