Эксперт по сдаче вступительных испытаний в ВУЗах
ИЗУЧЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Методические указания
к лабораторной работе № 4
Цель работы – изучение колебаний физического маятника; определение ускорения свободного падения.
Общие сведения
Физическим маятником называют твердое тело, совершающее колебания относительно произвольной горизонтальной оси, не проходящей через центр инерции, в поле силы тяжести. На рис.4.1 ось проходит перпендикулярно рисунку через точку 0, сила тяжести mg приложена к центру масс тела С.
Движение описывается основным уравнением динамики вращения твердого тела
(4.1)
В данном случае J – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку 0, – угловое ускорение, M – момент силы тяжести.
По определению, момент силы тяжести равен
, где – плечо силы (рис.4.1). Момент необходимо считать отрицательным, так как его действие ведет к уменьшению угла .
Рис.4.1. Физический маятник
В случае, когда углы отклонения малы (малые колебания), можно считать . получаем дифференциальное уравнение движения маятника
(4.2)
Вводя обозначение
(4.3)
приводим уравнение (4.2) к стандартному виду уравнения колебаний линейного гармонического осциллятора
Его решением служит гармоническая функция
(4.4)
Таким образом, при малых углах отклонения физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой
(4.5)
Введем понятие «приведенная длина физического маятника»
(4.6)
где
полная масса маятника.
Период колебаний стержня, согласно (4.5) и (4.6)
(4.7)
Таким образом, зависимость имеет линейный характер (рис.4.3).
Описание установки
Физический маятник, исследуемый в работе, представляет собой стальной стержень длиной с подвижным грузом в форме цилиндра (рис.4.2). Груз может перемещаться по стержню и фиксироваться в любом положении. Таким образом, изменяется положение центра масс С , и следовательно, приведенная длина маятника (6). На верхнем конце стержня жёстко укреплена пластина с призмой, обращённой вниз острым ребром – «ножом». Вдоль стержня нанесена миллиметровая шкала для опреде-
Рис.4.2.
ления положения подвижного груза; ноль шкалы совмещён с «ножом», т. о. отсчёт расстояний происходит от оси колебаний.
Если центр масс груза отстоит от оси колебаний на х, положение центра масс системы без учёта призмы и небольшой верхней части стержня определяется по формуле
(4.8а)
где и – массы стержня и груза соответственно. Удобно ввести отношение масс груза и стержня . После преобразования (4.8а) приобретает вид
(4,8)
Для определения приведенной длины помимо l необходим момент инерции маятника
(4.9)
Здесь момент инерции груза рассчитывается как для материальной точки; часть стержня, находящаяся выше оси колебаний, не учитывается.
Прямая проходит через начало координат, её угловой коэффициент, по (4.7), равен . Ускорение свободного падения можно определить следующим образом. Запишем (4.7) для двух пар значений и , вычтем уравнения почленно и выразим
Рис.4.3. К определению g по графику .
(4.10)
где индексы i и k обозначают произвольные пары значений и , точек лежащих строго на линии графика.
Порядок выполнения работы
1. Ослабив фиксирующий винт, установить груз на некотором расстоянии x от «ножа» и вновь зафиксировать груз, записать расстояние x в таблицу.
2. Отклонив стержень на малый угол от вертикали (чтобы колебания можно было считать малыми, углы не должны превышать 5о ÷ 10о (в пределах белого сектора), отпустить его и одновременно запустить секундомер.
3. После совершения маятником N колебаний (можно выбрать N = 20 ÷ 30) остановить секундомер. Определить время колебаний t и сразу вычислить период колебаний . Записать значение времени и периода колебаний в таблицу.
4. Повторить измерения при других положениях груза на стержне (пп.1-3) не менее 5–7 раз. Положение груза целесообразно менять черед 10см в диапазоне от 50 см до 100 см.
№
п/п х, см , с
, с
l , м J, кг•м2 L, м ,
1
2
…
5
5. Записать длину стержня = 1,05 м.
6. Записать значения масс груза и стержня, указанные на установке.
Обработка результатов измерений
1. Для каждого значения x вычислить l по (4.8) и J по (4.9), внести полученные результаты в таблицу.
2. Рассчитать приведенную длину физического маятника L по (4.6).
3. Построить график зависимости . Для этого использовать миллиметровую бумагу А4.
4. Аппроксимировать экспериментальные точки прямой, выходящей из начала координат (точки должны располагаться по возможности равномерно сверху и снизу от прямой. Сделать вывод относительно линейности полученной зависимости .
5. Выбрать на аппроксимирующей прямой произвольно, как показано на рис.4.3, две пары значений и . Рассчитать g по формуле (4.10).
6. Погрешность полученного значения ускорения свободного падения связана с многочисленными упрощениями, сделанными при расчете L. Поэтому вместо вычисления погрешности в данном случае рекомендуется оценить отклонение полученного значения от известного значения . ( м/с2).
Следует считать удовлетворительным отклонение .
Записать вывод к работе. В выводе рекомендуется перечислить
а) какие величины измерены в данной работе и какие рассчитаны;
б)какой график построили, какова его форма и соответствует ли она теории;
в) какова величина рассчитанного из графика ускорения и отклонения его от табличного значения, и можно ли считать результаты измерений удовлетворительными.
Контрольные вопросы
1.Что такое физический маятник?
2. Какими уравнениями описываются колебания физического маятника?
3. Чем определяется период колебаний физического маятника? Что такое приведенная длина?
4. Как выводится формула (4.8), определяющая положение центра масс физического маятника в данной работе?
5. Что такое момент инерции твердого тела? Как обосновать формулу (4.9) для расчета момента инерции стержня с грузом?
6. Почему при изменении положения груза на стержне изменяется период колебаний маятника?
7. Почему формулы (4.8) и (4.9) являются приближенными?
8. Почему углы отклонения стержня маятника должны быть по возможности малыми?
9. Почему при обработке результатов целесообразно строить зависимость от ?
10. Как определяется ускорение свободного падения в работе?
11. Чем определяется ускорение свободного падения, согласно теории?
