Лабораторная работа по высшей математике (Вариант 44)

1 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1.1 Задание

Написать программу отделения корней их уточнения одним из нижеперечисленных методов:

а) методом дихотомии; б) методом хорд; в) методом золотого сечения; г) методом Ньютона; д) методом итераций; е) комбинированным методом. Входные данные: функция f (х) и ее первая и вторая производные (для метода Ньютона, итераций и комбинированного метода); интервал [a,b]; точность по аргументу и по функции ε1, ε2. Выходные данные: корни ξi, точность; значения функции f(ξi); количество итераций n; количество вычислений функции f(x); время счета; параметр сходимости α=(|x_(n+1)-x_n |)/|x_n-x_(n-1) |^n ,где n-порядок сходимости. f(x)=lg(x+5)-cosx; x<5

1.2 Теоретический материал

Первый этап численного решения уравнения (1.1) состоит в отделении корней, т. е. в установлении тесных промежутков, содержащих только один корень. Фактически этот этап состоит в нахождении грубого значения корня. Рассмотрим графический способ отделения корня. Для этого строится график функции f(x). Точка пересечения с осью абсцисс и есть искомый корень. Для поиска приближенного значения корней на промежутке [a,b] задается сетка {xi}: a=x1<x2<…<xn=b и вычисляются значения функции f(xi)=fi. Если для двух соседних точек выполняется неравенство f(xi)*f(xi+1)≤0, то в интервале [xi, xi+1] расположен по крайней мере один корень ξmϵ[xi, xi+1]. Далее, если положить ξm=1/2(xi + xi+1), то точность определения корня ξm равна ∆m=1/2(xi+1 — xi). Метод дихотомии (метод половинного деления) Пусть на отрезке [a, b] расположен один корень функции и мы найдем его с определенной точностью ε. Вычисляем среднюю точку c=1/2(a+b) и значение функции f (c). Если выполняется условие |f(c)| < ε, где ε>0, то процесс вычисления заканчивается, c – корень. Если f (c) ≠ 0, то рассматриваем два случая: 1) если f(a)⋅f(c) ≤ 0, то b = c и повторяем процесс деления [a,c]; 2) если f(c)⋅f(b) ≤ 0 иначе a = c и повторяем процесс деления [c,b]. Процесс деления продолжаем до тех пор, пока не будет выполнено либо условие |f(c)| < ε или условие (bn-an)< ε, где bn, an – границы интервала на n-ом шаге деления исходного интервала.

1.3 Алгоритм решения

Находим графическим методом интервал, в котором имеются корни. Таким образом получаем интервал [-4.5;1].

1.4 Результат работы программы

Напишем программу PascalABC.Net (приложение А) отделения корней их уточнение методом дихотомии, в результате получаем (рис. 2). Рисунок 2 Входные данные: Функция: f =ln(x+5)/ln(10)-cos(x); Интервал: [-4,5;1]; Точность: 0,0001. Выходные данные: Название метода Результат Кол-во итераций Дихотомия x1=-4,45; x2=-0.913; x3=0.712 55

2 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1 Задание

Написать программу решения системы линейных алгебраических уравнений одним из следующих методов: а) методом Гаусса; б) методом ортогонализации; в) методом Халецкого; г) методом простой итерации; д) методом Зейделя. Входные данные: порядок системы n; матрица системы A; правая часть системы b; точность ε (для итерационных методов). Выходные данные: промежуточные векторы и матрицы; решение системы; невязка. {█(3.2x_1+5.4x_2+4.2x_3+2.2x_4=2.6@2.1x_1+3.2x_2+3.1x_3+1.1x_4=4.8@1.2x_1+0.4x_2-0.8x_3-0.8x_4=3.6@4.7x_1+10.4x_2+9.7x_3+9.7x_4=-8.4)┤

2.2 Теоретический материал

Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных. Суть его состоит в преобразовании к системе с треугольной матрицей, из которой затем последовательно (обратным ходом) получаются значения всех неизвестных. Схема вычисления методом Гаусса. Эта схема называется схемой единственного деления. Пусть a11≠0 (ведущий элемент). Этап 1 Приводим систему к треугольному виду: Шаг 1: m_(i,1)=a_(i,1)/a_1,1,i=2,3,….,n a_(i,j)^((1))=a_(i,j)-m_(i,1) a_(1,j), b_i^((1))=b_i-m_(i,1) b_1, i,j=2,3,..,n Шаг 2: m_(i,2)=a_(i,2)^((1) )/a_2,2^((1)),i=3,4,….,n a_(i,j)^((2))=a_(i,j)^((1))-m_(i,2) a_(2,j)^((1)), b_i^((2) )=b_i^((1) )-m_(i,2) b_2^((1)), i,j=3,4,..,n Шаг (n-1): m_(n,n-1)=a_(n,n-1)^((n-2) )/a_(n-1,n-1)^((n-2)), a_(n,n)^((n-1))=a_(n,n)^((n-2))-m_(n,n-1) a_(n-1,n)^((n-2)), b_n^((n-1) )=b_n^((n-2) )-m_(n,n-1) b_(n-1)^((n-2)), Этап 1 можо представить в следующем виде: m_(i,k)=a_(i,k)^((k-1) )/a_(k,k)^((k-1) ), k=1,2,3,4,….,n-1 a_(i,j)^((k))=a_(i,j)^((k-1))-m_(i,k) a_(k,j)^((k-1)), b_i^((k) )=b_i^((k-1) )-m_(i,k) b_k^((k-1)), i,j=k+1,k+2,..,n Где k – номер шага; a_(1,j)^((0))=a_(1,j),b_1^((0))=b_1 Этап 2 Вычисляем неизвестные: x_n=b_n^((n-1) )/a_nn^((n-1) ), x_(n-i)=1/(a_(n-i,n-i)^((n-i-1) ) ) (b_(n-i)^((n-i-1) )-∑_(j=0)^i▒〖a_(n-i,n-i)^((n-i-1) )∙x_(n-j) 〗) i=1,2,..,n-1. Этап 3 Для проверки вычисляем невязку ||e||, где e_i=∑_(k=1)^n▒〖a_ik x_k-b_i,i=1,…,n〗. Если решение верное, то невязка будет равна нулю или очень малой величиной.

2.3 Результат работы программы

Напишем программу PascalABC.Net (приложение Б) решения системы линейных уравнений с помощью метода Гаусса, в результате получаем (рис. 3). Рисунок 3

3 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ МАТРИЦ

3.1 Задание

Написать программу вычисления определителя матрицы одним из следующих методов: а) методом Гаусса; б) методом декомпозиции. Входные данные: • порядок системы n; • матрица системы A. Выходные данные: • промежуточные матрицы; • значение определителя. {█(3.2x_1+5.4x_2+4.2x_3+2.2x_4=2.6@2.1x_1+3.2x_2+3.1x_3+1.1x_4=4.8@1.2x_1+0.4x_2-0.8x_3-0.8x_4=3.6@4.7x_1+10.4x_2+9.7x_3+9.7x_4=-8.4)┤

3.2 Теоретический материал

0Определителем называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки матрицы A. Если в каждом таком произведении (члене определителя) множители расположены в порядке следования столбцов (т. е. вторые индексы элементов aij в произведении расположены в порядке возрастания), то со знаком (+) берутся те произведения, у которых перестановка первых индексов чётная, а со знаком (–) те, у которых она нечетная. detA=|A|=|■(a_11&a_12&a_1n@a_21&a_22&a_2n@a_n1&a_n2&a_nn )|=∑▒(-1)^[i_1,..,i_n ] xa_(i_1 1)∙a_(i_2 2)… a_(i_n n) Здесь [i1,i2,…,in] – число инверсий в перестановке индексов i1,i2,…in.

3.3 Результат работы программы

Напишем программу PascalABC.Net (приложение В) поиска определителя с помощью метода Гаусса, в результате получаем (рис. 4). Рисунок 4

4 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

4.1 Задание

Написать программу вычисления обратной матрицы одним из следующих методов: а) методом Гаусса; б) методом ортогонализации; в) методом Халецкого. Входные данные: • порядок системы n; • матрица системы A. Выходные данные: • промежуточные векторы и матрицы; • обратная матрица; • невязка. {█(3.2x_1+5.4x_2+4.2x_3+2.2x_4=2.6@2.1x_1+3.2x_2+3.1x_3+1.1x_4=4.8@1.2x_1+0.4x_2-0.8x_3-0.8x_4=3.6@4.7x_1+10.4x_2+9.7x_3+9.7x_4=-8.4)┤

4.2 Теоретический материал

Для построения численных схем вычисления обратных матриц будем использовать соотношение A∙A^(-1)= E , где E – единичная матрица. Пусть A – неособенная матрица (n×n) и пусть X=A^(-1) . Тогда имеем A⋅X=E Если обозначить столбцы матрицы X за x1,x2,…xn, а столбцы матрицы E за e1,e2,…en, то равенство можно переписать в виде n систем линейных алгебраических уравнений: Ax_i=e_i,i=1,…,n Таким образом, меняя только правую часть, мы последовательно решаем систему и находим столбцы матрицы X. Вектора правой части представляют собой единичные вектора, т. е. e1 = (1,0,…,0)T, e2 = (0,1,…,0)T, …, en=(0,0,…,1)T. Системы решаем любым известным методом. 4.3 Результат работы программы Напишем программу PascalABC.Net (приложение Г) поиска обратной матрицы с помощью метода Гаусса, в результате получаем (рис. 5). Рисунок 5

ВЫВОДЫ

При выполнении данной работы были получены и усовершенствованы знания по работе в Pascal. Благодаря данным программам значительно сокращается время выполнения довольно объемных задач.