Реферат по высшей математике на тему «История появления комплексных чисел»

Введение

В школе теория чисел начинается с натуральных, рациональных, иррациональных, то есть на множестве действительных чисел. Но уже в 8 классе необходимо пополнить запас действительных чисел при помощи комплексных чисел, для которых квадратный корень из отрицательного числа имеет смысл. Актуальность выбора темы работы заключается в том, что понятие комплексного числа расширяет знания о числовых системах, о решении широкого класса задач как алгебраического, так и геометрического содержания, о решении алгебраических уравнений любой степени и о решение задач с параметрами. Известно большое значение комплексных чисел в математике и её приложениях. Алгебру комплексных чисел можно успешно использовать в элементарной геометрии, тригонометрии, теории геометрических преобразований, а также в электротехнике и различных задачах с механическим и физическим содержанием. Решение многих задач физики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Но решение многих таких задач имеет определенный физический смысл. Комплексные числа широко использовал отец русской авиации Н. Е. Жуковский при разработке своей теории крыла. Комплексные числа и функции от комплексного переменного находят применение во многих вопросах науки и техники. Цель реферата – знакомство с историей появления комплексных чисел, их свойствами и действиями над ними. В рамках достижения поставленной цели были поставлены следующие задачи:

• ввести понятие комплексных чисел;
• изучить историю их открытия;
• рассмотреть различные свойства и формы комплексных чисел, математические операции с ними.

Для того, чтобы подойти к комплексным числам, приведем небольшую справку развития числа в целом. Так, «настоящими» числами древнегреческие математики считали только натуральные числа. За 2 тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне наряду с натуральными числами в практических расчетах применялись дроби. На протяжении долгого времени полагали, что результат измерения всегда выражается в виде натурального числа или в виде дроби. Философы считали, что «элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в целом является гармонией и числом». Но открытие, сделанное пифагорейцем, нанес удар по этому взгляду. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Это означает, что натуральных чисел и дробей недостаточно, для того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Можно утверждать, что это послужило открытию теоретической математики. Без абстрактного рассуждения открыть существование несоизмеримых величин было невозможно. Во 2 веке до н. э. китайский математик ввел отрицательные числа, что привело развитие понятия о числе на новый этап. А уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения — положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа х, чтобы . В 16 веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.

1. На пути к комплексным числам

В 1494 году учёный, францисканский монах (Италия) Лука Пачиоло напечатал в Венеции труд «Сумма, арифметика, геометрия и пропорциональности», который закончил выводом: «Решение кубических уравнений вида , столь же невозможно при современном состоянии науки, как и решение квадратуры круга циркулем и линейкой» [7]. Несмотря на это предупреждение, за решение кубического уравнения взялись одновременно сразу два математика, Джеронимо Кардано из Милана и Николо Тарталья из Вероны. Причём первый из них получил аналитический результат, решая квадратное уравнение. Он поставил задачу: нарезать участок земли прямоугольной формы с площадью 40 кв. ед. и периметром 2р = 20 лин. ед. Решая систему , он пришёл к уравнению  корни которого не являются действительными числами. Он показал, что система уравнений, не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида , . Кардано был удивлён таким результатом, назвав число  софистическим, добавив, что для осуществления таких действий нужна была бы новая арифметика, которая была бы настолько же утончённой, насколько бесполезной, нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры. Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. В 1572 году замечательный учёный из Болоньи Рафаэли Бомбелли в своём труде «Алгебра» показывает, что при некоторых операциях над новыми числами результатом является действительное число, например. Только в XVIII веке величайший математик Леонард Эйлер в работе «Введение в математический анализ» (1746) вводит обозначение мнимой единицы: , взяв первую букву слова imaginеires (от названия введённого Р. Декартом) и записывает свои знаменитые формулы: , , из которых получает соответственно: , . Карл Гаусс, немецкий учёный, «король математики», впервые называет числа комплексными (от латинского compleks – объединение), вводит обозначение а+bi и представляет их в виде точек плоскости. В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида  кубические и квадратные корни: [6]. Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (  x=1), а если оно имеет три действительных корня (  x₁=1 x_2,3 = ), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени  нельзя решить алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня). В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее, всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом [1].

2. Утверждение комплексных чисел в математике

Кардано называл комплексные числа «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считал их бесполезными и старался их не употреблять [6]. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Как уже было сказано, название «мнимые числа» ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а Л. Эйлер в 1777 г. предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения мнимой единицы. Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин «комплексные числа» так же был введен Гауссом в 1831 году. В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование. Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра. С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу: , которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень. В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов. Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, — только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами. После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании «гиперкомплексных» чисел — чисел с несколькими «мнимыми» единицами. Такую систему вида , где , построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их «кватернионами». Правила действия над кватернионами напоминает правила обычной алгебры, однако их умножение не обладает свойством коммутативности (переместительности): например, , а . Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев — к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров — к проблемам квантовой теории поля.

3. Комплексные числа и их свойства

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексным числом называется выражение вида  ( (Rez) и   – действительные числа,  – мнимая единица). Свойства комплексных чисел: 1) два комплексных числа  и  называются равными, если  и ; [2] 2) суммой и разностью двух комплексных чисел  и  называется комплексное число ; 3) произведением двух комплексных чисел  и  называется комплексное число . Запись комплексного числа в виде  называется алгебраической формой записи комплексного числа Комплексное число  (отличается только знаком мнимой части) называется комплексно сопряженным с числом . Комплексные числа  и  называются противоположными. Модулем комплексного числа  называют число : . Модуль комплексного числа всегда есть действительное неотрицательное число , причем  тогда и только тогда, когда . Комплексное число  изображают на координатной плоскости точкой с декартовыми координатами . Действительные числа  изображаются точками оси -ов. Чисто мнимые числа  – точками оси -ов. Ось -ов – действительная ось. Ось -ов – мнимая ось. Точка А , соответствующая комплексному числу  называется аффиксом данного комплексного числа. Каждой точке плоскости с координатами  соответствует один и только один вектор с началом в точке О(0,0) и концом в точке А . Поэтому комплексное число  можно изобразить в виде вектора  с началом в точке  и концом в точке (рис. 1) [3]. Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости. Комплексные числа в тригонометрической форме Угол  между действительной осью Ох и вектором , отсчитываемый от положительного направления действительной оси, называется аргументом комплексного числа Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Любое комплексное число  имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное 2 . Аргумент комплексного числа определяется однозначно, если область его изменения ограничить промежутком величины 2 . В качестве такого промежутка принято брать один из следующих промежутков , . Такое значение аргумента  называется главным значением аргумента . Так как аргумент  определяется с точностью до слагаемого , то . Из рисунка видно, что , , . Запишем формулы для вычисления главного значения аргумента, принадлежащие промежутку : Для представления комплексного числа  в тригонометрической форме необходимо найти: 1) модуль этого числа ; изобразить точку  и выбрать нужное значение аргумента этого числа;

• записать , воспользовавшись соотношением, выраженным через тригонометрические величины. Получаем тригонометрическую форму комплексного числа = .

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме При умножении двух или нескольких чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются: При делении двух комплексных чисел модуль числителя делится на модуль знаменателя, а аргумент знаменателя вычитается из аргумента числителя. При возведении комплексного числа в целую положительную степень модуль его возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени, т. е., где . Эта формула называется формулой Муавра. Корень -й степени из комплексного числа =  имеет  различных значений, которые находятся по формуле.

Заключение

Из курса математики известно, что отрицательные числа введены, прежде всего, для того, чтобы операция вычитания, обратная к операции сложения была всегда возможна. По аналогичной причине в математике появились комплексные числа. Если рассматривать только действительные числа, то операция извлечения квадратного корня, обратная к операции возведения в квадрат не всегда возможна, так как нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Этого, однако, недостаточно, чтобы заводить в математике новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречается корень квадратный из отрицательного числа, то можно прийти к результату уже не содержащему корень квадратный из отрицательного числа. Но эти корни стали употреблять в математике. Поле действительных чисел было расширено до поля комплексных чисел. Комплексные числа, несмотря на их «лживость» и недействительность, имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии. Именно поэтому нам нужно расширять свои знания о комплексных числах, их свойствах и особенностях. В настоящем реферате изучены различные литературные источники, подобран материал, дающий наиболее полное представление о комплексных числах, истории их открытия, их роли и значении в различных разделах математики. Дано понятие комплексных чисел, история их возникновения. Рассмотрены действий с комплексными числами. Приведены примеры решения уравнений с комплексным переменным, что позволяет решить любые квадратные уравнения, даже с отрицательным дискриминантом. Также рассмотрена геометрическая интерпретация комплексных чисел в виде векторов. При этом приведена классификация комплексных чисел и введено понятие модуля комплексного числа Оценены значение и роль комплексных чисел при решении ряда математических задач. Комплексные числа и мнимая единица используются в научных расчетах и в расчетах схем переменного тока. В определенных задачах комплексный ответ дает сразу две важных характеристики. Например, при расчете электрического колебательного контура получилась комплексная частота. Действительная часть комплексной частоты — это частота в привычном понимании, связанная с периодом колебаний. Мнимая часть частоты описывает время затухания сигнала. И таких примеров много, когда одно комплексное число дает сразу два ответа. Комплексные числа также используются в исследовании течения воды, вычерчивании географических карт, конструировании ракет и самолетов.

Список литературы

1. Андронов И. К. «Математика действительных и комплексных чисел». – М.: Просвещение, 2008.
2. Выгодский М. Я. «Справочник по элементарной математике»
3. Гордиенко Н. А., Беляева Э.С., Фирстов В.Е., Серебрякова И.В. «Комплексные числа и их приложения»: Учебное пособие. – Воронеж: ВГПУ, 2008.
4. Кураш А. Г. «Алгебраические уравнения произвольных степеней». М., «Наука», 2007.
5. Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения». М., «Физматгиз», 2009.
6. Савин А. П. «Энциклопедический словарь юного математика»
7. Стройк Д. Я. «Краткий очерк истории математики». М., «Наука», 2009.
8. Яглом И. М. Комплексные числа и их приложения в геометрии. Изд. 2-е, стереотипное. – М.: Едиториал УРСС, 2008.
9. http://ru.wikipedia.org – Википедия – свободная энциклопедия.
10. http://www.nigma.ru – интеллектуальная поисковая система.