Эксперт по сдаче вступительных испытаний в ВУЗах
Список теоретических вопросов по курсу
1. Основные элементарные функции комплексного переменного, их
свойства. Примеры.
2. Предел, непрерывность, дифференцируемость функции комплексного
переменного.
3. Определение аналитической функции, ее свойства. Условия КошиРимана. Примеры аналитических и неаналитических функций.
4. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
аналитической функции. Конформное отображение. Примеры.
5. Определение интеграла функции комплексного переменного вдоль
кусочно-гладкой кривой, свойства.
6. Теоремы Коши для односвязной и многосвязной области.
7. Степенной ряд, область его сходимости. Ряд Тейлора аналитической
функции, основные разложения.
8. Ряд Лорана аналитической функции. Примеры разложения в ряд
Лорана.
9. Изолированные особые точки (и.о.т.). Классификация и.о.т. по
главной части ряда Лорана и на основе поведения функции в окрестности
особой точки.
10. Нуль аналитической функции, его кратность. Связь полюса с нулем
обратной функции. Примеры.
11. Вычет аналитической функции в и. о. т. Нахождение вычета по ряду
Лорана. Примеры.
12. Формулы для вычисления вычета в простом и кратном полюсе.
Примеры.
13. Основная теорема о вычетах. Примеры вычисления контурных
интегралов с помощью вычетов.
14. Вычисление несобственных интегралов по прямой и полупрямой.
Лемма Жордана. Примеры использования леммы Жордана.
15. Теорема Руше и ее применение.
16. Использование теории вычетов при решении задачи Коши
операторным методом в курсе обыкновенных дифференциальных уравнений
(теорема о нахождении оригинала для заданного изображения с помощью
вычетов). Примеры.
17. Интегралы, зависящие от параметра, их свойства. Интегралы Эйлера.
18. Определение Гамма-функции, ее свойства.
19. Определение Бета-функция, ее свойства.
20. Взаимосвязь Гамма-функции и Бета-функции. Примеры применения
этих функций к вычислению интегралов.
Ссылка на первоисточник:
https://rsmu.ru/
