Эксперт по сдаче вступительных испытаний в ВУЗах
Экзаменационные вопросы (первый семестр):
1. Определение поля. Следствия из аксиом поля. Примеры полей.
2. Определение комплексных чисел. Поле комплексных чисел. Алгебраическая и
тригонометрическая формы записи комплексных чисел.
3. Определение и свойства определителей. Вычисление определителей второго и третьего
порядков.
4. Разложение определителя по строке (столбцу). Теорема Лапласа.
5. Основные операции над матрицами и их свойства. Обратные матрицы, их вычисление.
Решение СЛАУ с невырожденной основной матрицей по формулам Крамера.
6. Определение линейного пространства. Свойства линейных пространств. Примеры
линейных пространств.
7. База и ранг системы векторов. Докажите, что элементарные преобразования системы
векторов приводят к эквивалентной системе.
8. Базис линейного пространства. Докажите, что разложение любого вектора x ∈ L по
данному базису единственно. Докажите, что произвольную систему из k линейно
независимых векторов k f f f 1 2 K (k < n) можно дополнить до базиса n-мерного
пространства L. Понятие подпространства и линейной оболочки. Примеры
подпространств.
9. Сумма и пересечение подпространств. Докажите, что для любых двух подпространств L1
и L2 конечномерного пространства L имеет место равенство dim L1 ∩ L2 + dim L1 + L2 = dim L1 + dim L2 .
10. Прямая сумма подпространств. Докажите, что для того чтобы пространство L было
прямой суммой своих подпространств L L Lm , , , 1 2 K , необходимо и достаточно, чтобы
объединение базисов этих подпространств составляло базис всего пространства.
Докажите, что для того чтобы сумма двух линейных подпространств была прямой
суммой, необходимо и достаточно, чтобы пересечение этих подпространств было
нулевым.
11. Изоморфизм линейных пространств. Докажите, что все конечномерные пространства,
заданные над одним полем, изоморфны, если и только если они имеют одинаковую
размерность. Докажите, что всякое n-мерное векторное пространство L над полем F
изоморфно n F.
12. Ранг матрицы, базисный минор. Докажите, что любая строка (любой столбец) матрицы
А является линейной комбинацией базисных строк (базисных столбцов). Докажите, что
размерность линейной оболочки системы векторов-столбцов матрицы А равна рангу
матрицы А; базис указанной линейной оболочки образуют базисные столбцы матрицы
А.
13. Докажите, что ранг любой матрицы равен максимальному числу линейно независимых
столбцов (строк). Докажите, что максимальное число линейно независимых строк любой
матрицы совпадает с максимальным числом линейно независимых столбцов.
14. Докажите, что однородная СЛАУ нетривиально совместна тогда и только тогда, когда
ранг матрицы А меньше числа неизвестных. Критерий Кронекера-Капелли совместности
неоднородной СЛАУ. Докажите, что сумма частного решения неоднородной СЛАУ и
общего решения соответствующей однородной системы дает общее решение
неоднородной системы.
15. Докажите, что множество всех решений однородной СЛАУ с n неизвестными образует
подпространство размерности n-r, где r-ранг матрицы системы. Фундаментальная
система решений однородной СЛАУ.
16. Определение евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского для евклидова
пространства. Докажите, что неравенство Коши - Буняковского обращается в равенство
тогда и только тогда, когда векторы x и y коллинеарны.
17. Докажите, что в любом конечномерном действительном линейном пространстве можно
ввести скалярное произведение. Нормированное пространство. Докажите, что всякое
евклидово пространство является нормированным, если x = ( ) x, x .
18. Ортонормированный базис и его существование в евклидовом пространстве. Процесс
ортогонализации Грама-Шмидта.
19. Докажите, что ортогональная сумма ненулевых подпространств является прямой
суммой. Разложение n-мерного евклидова пространства на прямую сумму своего
подпространства и его ортогонального дополнения.
20. Нахождение по наклонной ее ортогональной проекции и перпендикуляра. Изоморфизм
n-мерных евклидовых пространств.
21. Определение унитарного пространства. Докажите, что в любом конечномерном
комплексном линейном пространстве можно ввести скалярное произведение. Докажите,
что всякое унитарное пространство является нормированным, если x = ( ) x, x .
22. Свойства ортонормированного базиса в унитарном пространстве. Докажите, что все
унитарные пространства одной размерности изоморфны между собой.
Ссылка на первоисточник:
http://www.rudn.ru
