Лабораторная работа по экономике

Порядок выполнения работы 1) разработать экономико-математическую модель задачи; 2) получить решение задачи с помощью надстройки Поиск решения табличного процессора Excel; 3) оформить отчет. Отчет должен содержать: постановку экономической задачи; экономико-математическую модель с необходимыми комментариями по ее элементам; описание компьютерной технологии получения оптимального решения; предложения (рекомендации) лицу, ответственному за принятие решений, по оптимальному управленческому поведению, включая анализ использования ресурсов. Предложить оптимальное управленческое решение в следующих типовых хозяйственных ситуациях. Задание Предложить оптимальное управленческое решение в следующих типовых хозяйственных ситуациях.

Задача 1. Четыре овощехранилища каждый день обеспечивают картофелем три магазина.

Магазины подали заявки соответственно на 17, 12 и 32 тонны. Овощехранилища имеют соответственно 20, 20, 15 и 25 тонн. Тарифы (в д.е. за 1 тонну) указаны в таблице. Составьте план перевозок, минимизирующий суммарные транспортные расходы. Решение Пусть xij, – количество картофеля, поставляемого от i-ого овощехранилища к j-ому магазину. Целевая функция: F = 2×11 + 7×12 + 4×13 + 3×21 + 2×22 + x23 + 5×31 + 6×32 + 2×33 + 3×41 + 4×42 + 7×43 → min Ограничения: На листе вводятся в соответствующие ячейки исходные данные задачи (рис. 1.1). Рисунок 1.1 – Исходные данные В ячейку С9 заносится целевая функция (единственная функция в таблице) (рис. 1.2). Общая стоимость всех «элементарных» перевозок вычисляется как сумма произведений цены доставки одной тонный груза на объем груза, перевозимого в данном направлении: =C3*D3 + C4*D4 + C5*D5 + C6*D6 + E3*F3 + E4*F4 + E5*F5 + E6*F6 + G3*H3 + G4*H4 + G5*H5 + G6*H6 + I3*J3 + I4*J4 + I5*J5 + I6*J6. Рисунок 1.2 – Компьютерная модель задачи В Excel имеется надстройка Поиск решения, которая помогает решить задачи линейного программирования. Необходимо воспользоваться меню Данные, Поиск решения. Если в меню Данные отсутствует команда Поиск решения, необходимо выполнить команду Файл, Параметры, Надстройки. Найти элемент Поиск решения и поставить «галочку» рядом с ним. Если в окне Надстройки нет элемента Поиск решения, необходимо доустановить Excel. Выделить ячейку С9, в которой находится целевая функция. Выбрать команду Данные, Поиск решения (рис. 1.3). Рисунок 1.3 – Поиск решения В диалоговом окне в поле ввода Оптимизировать целевую функция уже содержится $С$9 (при необходимости эту ссылку можно изменить). Установить переключатель До Минимума. Рисунок 1.4 – Окно поиска решения Щелкнуть кнопку Предложить, и в поле ввода Изменяя ячейки переменных появится $C$2:$C$4;$E$2:$E$4;$G$2:$G$4;$I$2:$I$4;$K$2:$K$4 (рис. 1.5). Рисунок 1.5 – Изменяемые ячейки Щелкнуть кнопку Добавить, чтобы ввести первое ограничение задачи. В диалоговом окне Добавление ограничения в поле ввода Ссылка на ячейку указать $B$3. Правее в выпадающем списке с условными операторами выбрать =. В поле ввода Ограничение вводят $D$3+$F$3+$H$3+$J$3. Щелкнуть кнопку Добавить и ввести другие ограничения. Щелкнуть кнопку Ок. Добавление первого ограничения представлено на рис. 1.6. Рисунок 1.6 – Добавление ограничения Оказавшись в диалоговом окне можно наблюдать введенные ограничения. С помощью кнопок Изменить и Удалить можно изменить и удалить ограничения. Все введенные ограничения представлены на рис. 1.7. Рисунок 1.7 – Ограничения В выпадающем списке Выберите метод решения выбрать Поиск решения линейных задач симплекс-методом и нажать кнопку Найти решение (рис. 1.8). Рисунок 1.8 – Запуск Поиска решения Установив кнопку Сохранить найденное решение, можно сохранить предложенные значения. С помощью этого диалогового окна (рис. 1.9) можно сформировать отчет. Рисунок 1.9 – Решение задачи Овощехранилище № 1 поставляет магазину № 1 17 т картофеля, магазину № 4 3 т картофеля. Овощехранилище № 2 поставляет магазину № 2 3 т картофеля, магазину № 3 17 т картофеля. Овощехранилище № 3 поставляет магазину № 3 15 т картофеля. Овощехранилище № 4 поставляет магазину № 2 9 т картофеля, магазину № 4 16 т картофеля. Задача 2. Имеются два элеватора, в которых сосредоточено соответственно 4 200 и 1 200 тонн зерна. Зерно необходимо перевезти трем хлебозаводам в количестве 1 000, 2 000 и 1 600 тонн каждому. Расстояние от элеватора до хлебозавода указано в таблице. Элеваторы Хлебозаводы Затраты на перевозку 1 тонны продукта на 1 км составляют 25 д.е. Спланируйте перевозки зерна из условия минимизации транспортных расходов.

Решение

Математическая модель задачи имеет вид: В ячейки B3:D4 вводим матрицу стоимостей. В ячейки А3:А4 помещаем значения наличия зерна по элеваторам. В ячейки B6:D6 помещаем значения потребностей хлебозаводов в зерне. Под значения переменных при оптимальном плане резервируем ячейки B10:D11 (первоначально вводим в эти ячейки нули), а значение целевой функции при оптимальном плане найдем в ячейке G13. Для контроля в ячейках А10:А11 вычислим суммы значений переменных при оптимальном плане по строкам, а в ячейках В12:D12 вычисляем суммы значений переменных при оптимальном плане по столбцам. Если решение правильное, то значения ячеек А10:А11 должны быть равны значениям ячеек А3:А4, а значения ячеек В12:D12 должны быть равны значениям ячеек B5:D5. Рисунок 2.1 – Ввод исходных данных Находим оптимальный план перевозок при помощи надстройки Поиск решения. Рисунок 2.2 – Настройка диалогового окна «Поиск решения» Нажав кнопку «Выполнить», находим оптимальное решение. Рисунок 2.3 – Получение результатов Рисунок 2.4 – Вывод результатов Из матрицы перевозок видим, что с первого элеватора надо перевезти 1 000 тонн зерна на хлебозавод А, 1 200 тонн – на хлебозавод Б, 1 200 тонн на хлебозавод Д, со второго элеватора надо перевезти 800 тонн зерна на хлебозавод Б, 400 тонн на хлебозавод Д. Минимальные затраты в этом случае составят 3 700 000 ден. ед Задача 3. Три завода выпускают грузовые автомобили, которые отправляются четырем потребителям. Первый завод поставляет 90 платформ грузовиков, второй – 30 платформ, третий – 40 платформ. Требуется поставить платформы следующим потребителям: первому – 70 штук, второму – 30, третьему – 20, четвертому – 40 штук. Стоимость перевозки одной платформы от поставщика до потребителя указана в таблице (д.е.). Поставщики Потребители Составьте оптимальный план доставки грузовых автомобилей. Решение Целевая функция: F = 18×11 + 20×12 + 14×13 + 10х14 + 10×21 + 20×22 + 40×23 + 30х24 + 16×31 + 22×32 +10×33 + 20×34 → min Ограничения: Рисунок 3.1 – Ввод исходных данных Рисунок 3.2 – Вывод результатов С завода №1 отправляем 20 платформ первому потребителю, 30 – второму потребителю, 40 – третьему потребителю; с завода №2 отправляем 30 второму потребителю; с завода №3 отправляем 20 платформ первому потребителю, 20 – третьему потребителю. При таком плане перевозок минимальные затраты составят 2 180 ден. ед.

Задача 4. Автомобили перевозятся на трейлерах из трех центров распределения пяти продавцам.

Стоимость перевозки в расчете на 1 км пути, пройденного трейлером, равна 60 д.е. Один трейлер может перевозить 15 автомобилей. Стоимость перевозок не зависит от того, насколько полно загружается трейлер. В приведенной ниже таблице указаны расстояния между центрами распределения и продавцами, а также величины, характеризующие ежемесячный спрос и объемы поставок, исчисляемые количеством автомобилей. Центр распределения Продавцы Объем поставок, шт. Определите минимальные затраты на доставку автомобилей. Решение Задача является сбалансированной: суммарный спрос и суммарное предложение составляют 770 автомобилей. Математическая модель задачи имеет вид: F(x) = 60 * (80×11 + 120×12 + 180×13 + 150×14 + 50×15 + 60×21 + 70×22 + 50×23 + 65×24 + 90×25 + 30×31 + 80×32 + 120×33 + 140×34 + 90×35) / 15 → min при условиях Рисунок 4.1 – Ввод исходных данных Рисунок 4.2 – Вывод результатов При осуществлении рекомендуемой схемы перевозки суммарная стоимость перевозок будет минимальной и составит 210 600 руб. Суммарная минимальная стоимость перевозок не зависит от степени загруженности трейлеров

Задача 5. Фермер, имеющий ограниченный участок земельных угодий, может засадить его тремя различными культурами.

Урожай этих культур зависит главным образом от погоды, которая может находиться также в трех различных состояниях. Фермер имеет информацию об урожайности этих культур при трех различных состояниях погоды, которая отражена в таблице. Необходимо определить пропорции, в которых фермер должен засеять имеющийся участок земли, чтобы максимизировать свой доход, независимо от погодных условий. Решение На листе Excel подготовим необходимые данные для работы программы (рис. 5.1): Для оптимальных значений переменных X1, X2, X3 отведем ячейки В3:D3. Целевую функцию f (X) вычислим в ячейке В5: f (X) = X1 + X2 + X3 → СУММ(В3:D3). В ячейках Е9:Е11 вычислим значения левых частей ограничений. В ячейке Е9: 10X1 + 9X2 + 5X3 → f(x) / математические/ СУММПРОИЗВ. Скопируем данную формулу в ячейки Е10 и Е11. Рисунок 5.1 – Подготовка данных в Excel Запустим программу Поиск решения. В диалоговом окне заполним все поля. В диалоговом окне Параметры поиска решения необходимо установить флажок в полях Линейная модель и Неотрицательные значения. По команде Выполнить, осуществляется решение задачи линейного программирования и появляется диалоговое окно Результаты поиска решения, в котором указано «Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены». При решении сформируем Отчет по устойчивости. В результате работы программы Поиск решения получим (рис. 5.2). В ячейках В3:D3 найдены оптимальные значения управляющих переменных: X1* = 1000; X2* = 0,0000; X3* = 0,4000; В ячейке В5 найдено значение целевой функции: f (X) = X1* + X2* + X3* = 0,500. Рисунок 5.2 – Результаты работы программы «Поиск решения» Вычислим цену игры и найдем оптимальное решение игры. В ячейке С14 вычислим цену игры по формуле: q = 1 / (Х1 + Х2 + Х3) = 2. В ячейках В18:D18 найдем по формулам оптимальную смешанную стратегию x* игрока А: x1* = q X1*, x2* = q X2*, x3* = q X3*. Получим: x1* = 0,200; x2* = 0,000; x3* = 0,800 (рис. 5.3). Рисунок 5.3 – Результаты решения прямой задачи В соответствии с найденными результатами, фермеру гарантирован средний доход в размере 0,5 единиц с каждого гектара используемой под культурами земли при самых неблагоприятных условиях. Оптимальной стратегией для фермера является выращивание двух культур К1 и К3. Под культуру К1 ему необходимо отвести 0,20 часть всей земли (20%), а под культуру К3 – 0,80 часть всей земли (80%). Задача 6. Сельскохозяйственное предприятие – поставщик скоропортящейся продукции на рынок – имеет три возможных варианта ее реализации: 1-й – подвергать переработке для длительного хранения и последующей реализации; 2-й – отправить до реализации на временное хранение в холодильник; 3-й – сразу реализовать потребителю. Потребитель со своей стороны может: затребовать продукцию в переработанном виде; приобрести ее через некоторый небольшой промежуток времени; приобрести всю продукцию сразу в свежем виде. Прибыль от реализации продукции в зависимости от поведения потребителя представлена в таблице: Стратегия сельхозпредприятия Стратегия потребителя Требуется найти оптимальное соотношение способов реализации продукции (в свежем виде, после непродолжительного времени хранения в холодильнике и после переработки) по критерию максимизации прибыли. Решение Рисунок 6.1 – Подготовка данных в Excel Рисунок 6.2 – Результаты работы программы «Поиск решения» Рисунок 6.3 – Результаты решения прямой задачи Можно рекомендовать выбрать стратегию 1 – подвергать переработке для длительного хранения и последующей реализации.