Помощь с контрольной работой по математике в ОмГА, пример оформления

Частное учреждение образовательная организация высшего образования «Омская гуманитарная академия» КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА на тему: «Математик Эйлер и его научные труды» по учебной дисциплине: Математика Выполнил: Омск, 2020 Содержание Введение………………………………………………………………………………3 1. Вклад в науку…………………………………………………………………..5 2. Теория чисел…………………………………………………………………..5 3. Математический анализ…………………………………………………..…..6 4. Геометрия………………………………………………………………………8 5. Комбинаторика…………………………………………………………….….9 6. Механика и математическая физика…………………………………………9 7. Астрономия……………………………………………………………….….10 Заключение………………………………………………………………………….13 Список литературы…………………………………………………………………14 Введение Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику по руководствам, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера. Он был прежде всего математиком, но он знал, что почвой, на которой расцветает математика, является практическая деятельность. Имя Эйлера дорого всему прогрессивному человечеству, которое чтит в нём одного из величайших геометров мира. В качестве члена Петербургской и Берлинской Академий наук Эйлер содействовал развитию математических наук в обеих странах и распространению в них физико-математических знаний. Леонард Эйлер был избран академиком (и почётным академиком) в восьми странах мира. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно даже перечислить все отрасли, в которых трудился великий учёный. Но в первую очередь он был математиком. Неоценимо велика роль Эйлера в создании классических образцов учебной литературы и в стимулировании творчества многих поколений математиков. Читайте, читайте Эйлера, он – наш общий учитель, — любил повторять Лаплас. И труды Эйлера с большой пользой для себя читали – точнее, изучали – и «король математиков» Карл Фридрих Гаусс, и чуть ли не все знаменитые учёные последних двух столетий. Даже сейчас, через много лет после смерти Эйлера, его работы побуждают учёных всего мира к творчеству в самых различных областях математики и её приложений. Всем нам знакомы понятия о точках Эйлера, прямой Эйлера и окружности Эйлера в треугольнике; о теореме Эйлера для многогранников. Один из простейших методов приближённого решения дифференциальных уравнений, широко применявшийся до самых последних лет, называется методом ломаных Эйлера; во многих разделах математики важную роль играют Эйлеровы интегралы (бета-функция и гамма-функция Эйлера). В механике при описании движения тел пользуются углами Эйлера, в гидродинамике рассматривается число Эйлера… Нет, пожалуй, ни одной значительной области математики, в которой не оставил бы след один из величайших математиков всех времён и народов, гений XVIII в. Леонард Эйлер. В 1963 г. 23-летний Пауль Эйлер окончил курс теологии в Базельском университете. Но учёных теологов было в те годы больше, чем требовалось, и лишь в 1701 г. он получил официальную должность священника сиротского дома в Базеле. 19 апреля 1706 г. пастор Пауль Эйлер женился на дочери священника. А 15 апреля 1707 г. у них родился сын, названный Леонардом. Начальное обучение будущий учёный прошел дома под руководством отца, учившегося некогда математике у Якоба Бернулли. Добрый пастор готовил старшего сына к духовной карьере, однако занимался с ним и математикой – как в качестве развлечения, так и для развития логического мышления. Мальчик увлёкся математикой, стал задавать отцу вопросы один сложнее другого. 1.Вклад в науку Леонард Эйлер оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. С точки зрения математики, XVIII в это век Л. Эйлера. Если до него достижения в области математики были разрознены и не всегда согласованы, то Л. Эйлер впервые увязал анализ, алгебру, тригонометрию, теорию чисел и другие дисциплины в единую систему, и добавил немало собственных открытий. Значительная часть математики преподаётся с тех пор «по Л. Эйлеру». Благодаря Л. Эйлеру в математику вошли общая теория рядов, удивительная по красоте «формула Эйлера», операция сравнения по целому модулю, полная теория непрерывных дробей, аналитический фундамент механики, многочисленные приёмы интегрирования и решения дифференциальных уравнений, число e, обозначение i для мнимой единицы, гаммафункция с её окружением и многое другое. По существу, именно он создал несколько новых математических дисциплин теорию чисел, вариационное исчисление, теорию комплексных функций, дифференциальную геометрию поверхностей, специальные функции. Другие области его трудов: диафанов анализ, астрономия, оптика, акустика, статистика и т.д. Познания Л. Эйлера были энциклопедичны; кроме математики, он глубоко изучал ботанику, медицину, химию, теорию музыки, множество европейских и древних языков. Биографы отмечают, что Л. Эйлер был виртуозным алгоритмистом. Он неизменно старался довести свои открытия до уровня конкретных вычислительных методов. 1. Теория чисел П.Л. Чебышёв писал: «Эйлером было положено начало всех изысканий, составляющих общую теорию чисел». Большинство математиков XVIII века занимались развитием анализа, но Л. Эйлер пронёс увлечение древней арифметикой через всю свою жизнь. Благодаря его трудам интерес к теории чисел к концу века возродился. Л. Эйлер продолжил исследования Ферма, ранее высказавшего (под влиянием Диофанта) ряд разрозненных гипотез о натуральных числах. Л. Эйлер строго доказал эти гипотезы, значительно обобщил их и объединил их в содержательную теорию чисел. Он ввёл в математику исключительно важную «функцию Эйлера» и сформулировал с её помощью «теорему Эйлера». Л. Эйлер создал теорию сравнений и квадратичных вычетов, указав для последних критерий Л. Эйлера.Он опроверг гипотезу Ферма о том, что все числа вида — простые; оказалось, что F5 делится на 641. Доказал утверждение Ферма о представлении нечётного простого числа в виде суммы двух квадратов. Дал одно из решений задачи о четырех кубах. Л. Эйлер доказал Великую теорему Ферма для n = 3 и n = 4, создал полную теорию непрерывных дробей, исследовал различные классы диофантовых уравнений, теорию разбиений чисел на слагаемые. Он открыл, что в теории чисел возможно применение методов математического анализа, положив начало аналитической теории чисел. В основе её лежат тождество Эйлера и общий метод производящих функций. Л. Эйлер ввёл понятие первообразного корня и выдвинул гипотезу, что для любого простого числа p существует первообразный корень по модулю p; доказать это он не сумел, позднее теорему доказали Лежандр и Гаусс. Большое значение в теории имела другая гипотеза Л. Эйлера— квадратичный закон взаимности, также доказанный Гауссом. 2. Математический анализ Одна из главных заслуг Эйлера перед наукой — монография «Введение в анализ бесконечно малых» (1748). В 1755 году выходит дополненное «Дифференциальное исчисление», а в 1768—1770 годах — три тома «Интегрального исчисления». В совокупности это фундаментальный, хорошо иллюстрированный примерами курс, с продуманной терминологией и символикой, откуда многое перешло и в современные учебники. Собственно современные методы дифференцирования и интегрирования были опубликованы в данных трудах. Основание натуральных логарифмов было известно ещё со времён Непера и Якоба Бернулли, однако Л. Эйлер дал настолько глубокое исследование этой важнейшей константы, что с тех пор она носит его имя. Другая исследованная им константа: постоянная Эйлера Маскерони. Он делит с Лагранжем честь открытия вариационного исчисления, выписав уравнения Л. Эйлера — Лагранжа для общей вариационной задачи. В 1744 году Л. Эйлер опубликовал первую книгу по вариационному исчислению («Метод нахождения кривых, обладающих свойствами максимума либо минимума»). Л. Эйлер значительно продвинул теорию рядов и распространил её на комплексную область, получив при этом знаменитую формулу Л. Эйлера. Большое впечатление на математический мир произвели ряды, впервые просуммированные Л. Эйлером, в том числе не поддававшийся до него никому ряд обратных квадратов. Современное определение показательной, логарифмической и тригонометрических функций — тоже его заслуга, так же как их символика и обобщение на комплексный случай. Формулы, часто именуемые в учебниках «условия Коши — Римана», более правильно было бы назвать «условиями Даламбера — Эйлера». Он первый дал систематическую теорию интегрирования и используемых там технических приёмов, нашёл важные классы интегрируемых дифференциальных уравнений. Он открыл эйлеровы интегралы—ценные классы специальных функций, возникающие при интегрировании: бета-функция и гамма-функция Л. Эйлера. Одновременно с Клеро вывел условия интегрируемости линейных дифференциальных форм от двух или трёх переменных (1739). Первый ввёл двойные интегралы. Получил серьёзные результаты в теории эллиптических функций, в том числе первые теоремы сложения. С более поздней точки зрения, действия Л Эйлера с бесконечными рядами не всегда могут считаться корректными (обоснование анализа было проведено лишь полвека спустя), но феноменальная математическая интуиция практически всегда подсказывала ему правильный результат. Впрочем, дело было не только в интуиции, Л. Эйлер действовал здесь достаточно сознательно, во многих важных отношениях его понимание смысла расходящихся рядов и операций с ними превосходило стандартное понимание XIX века и послужило основой современной теории расходящихся рядов, развитой в конце XIX—начале XX века. 3. Геометрия В элементарной геометрии Л. Эйлер обнаружил несколько фактов, не замеченных Евклидом: 1) Три высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре). 2) В треугольнике ортоцентр, центр описанной окружности и центр тяжести лежат на одной прямой — «прямой Эйлера». 3) Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности (окружности Эйлера). 4) Число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) у любого выпуклого многогранника связаны простой формулой: В + Г = Р + 2. Второй том «Введения в анализ бесконечно малых» (1748) это первый в мире учебник по аналитической геометрии и основам дифференциальной геометрии. Термин аффинные преобразования впервые введён в этой книге вместе с теорией таких преобразований. В 1760 году вышли фундаментальные «Исследования о кривизне поверхностей». Л. Эйлер обнаружил, что в каждой точке гладкой поверхности имеются два нормальных сечения с минимальным и максимальным радиусами кривизны, и плоскости их взаимно перпендикулярны. Вывел формулу связи кривизны сечения поверхности с главными кривизнами. 1771 год опубликовано сочинение «О телах, поверхность которых можно развернуть на плоскость». В этой работе введено понятие развёртывающейся поверхности, то есть поверхности, которая может быть наложена на плоскость без складок и разрывов. Л. Эйлер, однако, даёт здесь вполне общую теорию метрики, от которой зависит вся внутренняя геометрия поверхности. Позже исследование метрики становится у него основным инструментом теории поверхностей. 4. Комбинаторика Л. Эйлер много внимания уделял представлению натуральных чисел в виде сумм специального вида и сформулировал ряд теорем для вычисления числа разбиений. Он исследовал алгоритмы построения магических квадратов методом обхода шахматным конем. При решении комбинаторных задач он глубоко изучил свойства сочетаний и перестановок, ввёл в рассмотрение числа Эйлера. 5. Механика и математическая физика Множество работ Л. Эйлера посвящены математической физике: механике, гидродинамике, акустике и др. В 1736 году вышел трактат «Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении», знаменующий новый этап в развитии этой древней науки. 29-летний Л. Эйлер отказался от традиционного геометрического подхода к механике и подвёл под неё строгий аналитический фундамент. По существу, с этого момента механика становится прикладной математической дисциплиной. В 1755 году публикуются «Общие принципы движения жидкостей», в которых положено начало теоретической гидродинамике. Выведены основные уравнения гидродинамики (уравнение Эйлера) для жидкости без вязкости. Разобраны решения системы для разных частных случаев. В 1765 году в книге «Теория движения твёрдых тел» Эйлер математически описал кинематику твёрдого тела конечных размеров (до него исследовалось в основном движение точки). Он ввёл в математику углы Эйлера и теорему вращения. Его имя также носят кинематическая формула распределения скоростей в твёрдом теле, уравнения (Эйлера — Пуассона) динамики твёрдого тела, важный случай интегрируемости в динамике твёрдого тела. Л. Эйлер обобщил принцип наименьшего действия, довольно путано изложенный Мопертюи, и указал на его основополагающее значение в механике. К сожалению, он не раскрыл вариационный характер этого принципа, но всё же привлёк к нему внимание физиков, которые позднее выяснили его фундаментальную роль в природе. 6. Астрономия В 1738 г. Леонард Эйлер опубликовал знаменитую книгу «Механика, или наука о движении, изложенная аналитически». В ней впервые динамика точки излагалась на основе математического анализа. Такой подход имел первостепенное значение для небесной механики. Л. Эйлер создал аналитический метод записи и интегрирования дифференциальных уравнений задачи двух тел, имеющей простое решение. Однако при определении орбит небесных тел по наблюдениям, так как их движение подвержено возмущениям со стороны третьих тел, желательно представлять их координаты в виде явных функций времени. Это достигается разложением соответствующих функций в ряды того или иного вида. Эйлер нашёл адекватный вид ряда для основной функции задачи двух тел. В XVIII в. появилось много ярких комет. Требовалось определять их орбиты. Полного решения этой задачи Л. Эйлер не нашел, но построил множество модельных задач, решил некоторые реальные, такие как определение параболических орбит по четырем или пяти наблюдениям, определение орбиты кометы, дважды пересекающей плоскость эклиптики. Л. Эйлер математически сформулировал проблему уточнения орбит и в рамках задачи двух тел, и с учётом возмущений. Им также решена задача двух неподвижных центров. Она описывает движение точечной массы под действием притяжения двух материальных точек конечной массы, предполагаемых неподвижными. Для её решения Эйлер изобрёл эллипсоидальные координаты, которые и сегодня применяются для определения орбиты спутника несферической планеты. Но, пожалуй, главнейшее достижение Л. Эйлера в небесной механике – интегрирование уравнений возмущённого движения. Им впервые строго определено такое важнейшее понятие небесной механики, как оскулирующие элементы. Эйлер вывел аналитические соотношения определяющих изменение оскулирующих элементов – дифференциальные уравнения Л. Эйлера. Он с успехом применил их к установлению орбит Юпитера, Сатурна, Земли, Венеры и некоторых других небесных тел. С помощью численных методов интегрирования своих уравнений Л. Эйлер определил орбиты комет, в частности близко прошедшей у Земли кометы в апреле–мае 1759 г. Им же впервые была оценена масса кометы. Если масса кометы была равна земной, то год увеличился бы на 27 минут, если превосходила её в 100 раз, посчитал Л. Эйлер, то год увеличился бы на 45 часов. Но никаких изменений в продолжительности года обнаружено не было, поэтому Л. Эйлер заключил, что массы комет на несколько порядков меньше, чем массы планет. Громадный вклад внёс Л. Эйлер в создание теории движения Луны и Галилеевых спутников Юпитера. Когда ещё не было достаточно точных хронометров, такая теория имела не только фундаментальное, но прикладное значение, например, для определения долготы корабля в океане. Впервые к проблеме определения орбиты Луны Л. Эйлер обратился в 1753 г. в сочинении «Теория движения Луны, где рассматриваются все её неравенства». Л. Эйлер записал уравнения движения Луны в цилиндрических координатах и развивал теорию, получившую название «первой лунной теории Эйлера». В «Прибавлении» (дополнении к основной части сочинения) развивается подход, из которого возник метод вариации элементов. Через два десятилетия Л. Эйлер опубликовал обширный трактат «Теория движения Луны», содержащий новый метод и астрономические таблицы, из которых могут быть получены положения Луны для любого времени. Теорию Луны создали под руководством Леонарда Л. Эйлера неимоверным усердием и неутомимыми трудами три академика –Л. Эйлер, В.Л. Карфт, И.А. Лексель (1772). В нём Л. Эйлером был предложен новый метод, имевший большое значение как для небесной механики, так и теории нелинейных колебаний и теории дифференциальных уравнений. На основе полученных им динамических и кинематических уравнений вращения твёрдого тела, Л. Эйлер развил теорию прецессии и нутации земной оси. Он предсказал свободные (т.е. без воздействия возмущающего воздействия Луны) колебания оси вращения Земли, которые через полтора столетия открыл С.К. Чандлер (18461913). В 1747 г. Л. Эйлер написал статью «Об улучшении объективных стекол зрительных труб», в которой показал, что из двух линз, имеющих различную преломляющую способность, можно создать ахроматический объектив. По методу Л. Эйлера такой объектив впервые был изготовлен в 1758 г. английским оптиком Дж. Доллондом (1706–1761). Заключение Леонард Эйлер сделал много для развития математики и других наук. В последние годы жизни учёный продолжал усердно работать, пользуясь для чтения «глазами старшего сына» и ряда своих учеников В сентябре 1783 г. учёный стал ощущать головные боли и слабость. 18 сентября после обеда, проведённого в кругу семьи. Беседуя с А. И. Лекселем об недавно открытой планете Уран и её орбите, он внезапно почувствовал себя плохо. Эйлер успел произнести «Я умираю» – и потерял сознание. Через несколько часов, так и не приходя в сознание, он скончался от кровоизлияния в мозг. «Эйлер перестал жить и вычислять». Его похоронили на Смоленском кладбище в Петербурге. Надпись на памятнике гласила: «Леонарду Эйлеру – Петербургская Академия». Список литературы 1. Глейзер Г. И. История математики в школе. М.: Просвещение, 1964.С. 232. 2. Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. Указ. соч. — С. 220. Математика XVIII столетия. Указ. соч. — С. 32. 3. Рыбников К. А. Том II // История математики в 2-х томах. М.: Изд. МГУ, 1963.С. 2627. 4. Яковлев А. Я. Леонард Эйлер. — М.: Просвещение, 1983. Математика XVIII столетия. Указ. соч. — С. 35.