Автор статьи
Валерия
Эксперт по сдаче вступительных испытаний в ВУЗах
Тема 2. Численное интегрирование. Метод Гаусса
В случае квадратурных формул Гаусса узлы интегрирования на отрезке располагаются не равномерно, а выбираются таким образом, чтобы при наименьшем возможном числе узлов точно интегрировать многочлены наивысшей возможной степени. Узлы являются корнями полинома Лежандра степени n, а веса вычисляются интегрированием полиномов Лежандра по формуле , где – первая производная полинома Лежандра. Значения узлов метода Гаусса и их весов приводятся в справочниках специальных функций. Наиболее известен метод Гаусса по пяти точкам Исходные данные:Тема 3. Численное интегрирование с помощью степенных рядов
Чтобы вычислить интеграл с заданной точностью, подынтегральную функцию f(x) раскладывают в ряд, производят интегрирование и в полученном ряде оставляют столько членов, сколько потребуется для заданной точности Исходные данные: Разлагаем подынтегральную функции в ряд Тейлора по степеням х: Используем стандартное разложение элементарной функции f(x)=(1+x)m где m= — 1/3 Подставим вместо x выражение -x2 Интегрируем почленно полученный ряд. Для вычисления интеграла с заданной точностью достаточно взять два члена рядаТема 4. Вычисление кратных интегралов. Метод Монте-Карло
Метод Монте-Карло состоит в том, что рассматривается некоторая случайная величина , математическое ожидание которой равно искомой величине : Проводится серия независимых испытаний, в результате которых генерируется последовательность случайных чисел , и по совокупности этих значений приближенно определяется искомая величина Пусть равномерно распределенная на отрезке [0, 1] случайная величина, т.е. ее плотность распределения задается условием Тогда любая функция также будет случайной величиной, и ее математическое ожидание равно Следовательно, читая это неравенство в обратном порядке, приходим к выводу, что интеграл может быть вычислен как математическое ожидание некоторой случайной величины , которая определяется независимыми реализациями случайной величины с равномерным законом распределения: Аналогично можно определить и кратные интегралы. Для двойного интеграла получим ,где поверхность : , а независимые реализации случайных величин , равномерно распределенных на отрезке [0, 1]. Исходные данные: Задан двойной интеграл , область интегрирования треугольник с вершинами О(0,0) , А(1,0), В(1,1) Площадь области интегрирования (прямоугольного треугольника) Используем формулу где n – число случайных точек (xi , yi), которые принадлежат области интегрирования; у этих точек yi < xi (при каждом испытании, в котором это условие выполняется в счетчик n записывают единицу). Пары независимых случайных чисел (xi , yi) берем случайным образом. Для вычисления воспользуемся табличным пакетом Microsoft Excel. Зададим случайные значения (xi , yi) с помощью функции =СЛЧИС()
О сайте
Ссылка на первоисточник:
http://kviht.ru
Поделитесь в соцсетях: