Эксперт по сдаче вступительных испытаний в ВУЗах
Вопросы для самоподготовки
1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение матрицы на число, сложение и умножение матриц.
2. Определители 2-го и 3-го порядков (определение и свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.
3. Квадратная матрица и ее определитель. Вырожденная и невырожденная квадратные матрицы. Понятие присоединенной матрицы. Матрица, обратная данной и алгоритмы ее вычисления.
4. Понятие минора матрицы. Ранг матрицы (определение). Алгоритм Гаусса вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
5. Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы. Теорема о ранге матрицы.
6. Система линейных уравнений и матричная форма ее записи. Решение системы линейных уравнений (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.
7. Алгоритм решения системы n линейных уравнений с n переменными по формулам Крамера.
8. Алгоритм решения системы n линейных уравнений с n переменными методом обратной матрицы.
9. Алгоритм решения системы линейных уравнений методом Гаусса.
10. Исследование совместности систем линейных уравнений. Теорема КронекераКапелли.
11. Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные в решении системы линейных уравнений. Базисное решение.
12. Системы линейных однородных уравнений и ее решения. Условие существования ненулевых решений такой системы.
13. Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы). Линейные операции над геометрическими векторами (сложение, умножение вектора на число). Коллинеарные и компланарные векторы.
14. Скалярное произведение геометрических векторов (определение) и его выражение в координатной форме. Угол между геометрическими векторами.
15. N-мерный вектор (определение). Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость векторов.
16. Линейное (векторное) пространство, его размерность и базис. Теорема о существовании и единственности разложения вектора линейного пространства по векторам базиса.
17. Скалярное произведение векторов в n-мерном пространстве и его основные свойства. Евклидово пространство. Длина (норма) вектора и ее основные свойства.
18. Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса в евклидовом пространстве.
19. Понятие оператора. Линейный оператор (определение). Векторы образа и прообраза.
20. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между векторами образа и прообраза. Операции над линейными операторами. Нулевой и тождественный операторы.
21. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (определение). Характеристическое уравнение линейного оператора.
22. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Матрица линейного оператора в базисе, составленном из его собственных векторов.
23. Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы и ее свойства. Ранг квадратичной формы.
24. Изменение матрицы квадратичной формы при замене переменных, заданной невырожденным линейным преобразованием. Канонический вид квадратичной формы. Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм.
25. Знаковая определенность квадратичных форм. Критерии знаковой определенности квадратичных форм.
26. Общее уравнение плоскости в трехмерном евклидовом пространстве и его частные случаи. Нормальный вектор плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
27. Уравнения прямой линии в трехмерном евклидовом пространстве как линии пересечения двух плоскостей. Канонические уравнения прямой. Направляющий вектор прямой. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве. Параметрические уравнения прямой.
28. Углы между двумя плоскостями, двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости
