Эксперт по сдаче вступительных испытаний в ВУЗах
Экзаменационные вопросы (второй семестр):
1. Билинейные формы в вещественном линейном пространстве. Матрица билинейной
формы и ее преобразование при изменении базиса.
2. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом
Лагранжа.
3. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов методом Якоби.
4. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.
Определители Грама.
5. Закон инерции квадратичной формы. Ранг квадратичной формы.
6. Определение и примеры линейных операторов. Действия с линейными операторами.
Пространство линейных операторов.
7. Ядро и образ линейного оператора. Связь между дефектом, рангом и размерностью
области определения линейного оператора. Обратный оператор. Невырожденный
оператор.
8. Определение и примеры нахождения матриц линейных операторов. Связь между
координатами вектора — образа и вектора — прообраза. Изоморфизм пространства
линейных операторов пространству прямоугольных матриц соответствующего размера.
9. Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах. Эквивалентные и
подобные матрицы. Критерий эквивалентности двух матриц.
10. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения
линейного оператора. Доказать, что в комплексном линейном пространстве всякий
линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор.
11. Доказать, что
а) характеристический многочлен не зависит от выбора базиса;
б) система собственных векторов, соответствующих попарно различным собственным
значениям, линейно независима;
в) собственные векторы линейного оператора, соответствующие одному собственному
значению, вместе с нулевым вектором образуют подпространство.
Связь между линейными операторами и билинейными формами в унитарном
пространстве.
12. Операция перехода от оператора A к сопряженному A
* . Свойства операции *.
Нахождение матрицы сопряженного оператора в ортонормированном (ортогональном)
базисе.
13. Основные свойства самосопряженных операторов.
14. Унитарные операторы и их свойства.
15. Спектральная характеристика нормального оператора (линейный оператор тогда и только
тогда является нормальным, когда он имеет полную ортонормированную систему
собственных векторов). Критерий простоты структуры линейного оператора.
16. Достаточный признак оператора простой структуры. Доказать, что у всякого линейного
оператора в вещественном линейном пространстве существует одномерное или
двумерное инвариантное подпространство.
17. Основные свойства симметричных операторов.
18. Ортогональные операторы и их свойства.
19. Определение аффинного пространства. Различные способы задания прямой в аффинном
пространстве (векторный, в параметрическом виде, канонический, по двум точкам). Угол
между прямыми. Нахождение расстояния от данной точки до данной прямой.
Перпендикуляр, опущенный из точки на прямую.
20. Взаимное расположение двух прямых. Общий перпендикуляр двух прямых.
21. Векторное и смешанное произведения.
22. Различные способы задания плоскостей (векторный, в параметрическом виде, по точке и
нормали, по точке и направляющим векторам, по n точкам). Основная теорема о
плоскости. Угол между плоскостями. Условие принадлежности n+1 точки одной
плоскости.
23. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями.
24. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду с классификацией
возможных типов в случае δ ≠ 0 .
25. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду с классификацией
возможных типов в случае δ = 0 .
26. Инварианты кривой второго порядка. Определение канонического уравнения кривой
второго порядка по инвариантам.
27. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду с
классификацией типов в случае, когда все λi отличны от нуля.
28. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду с
классификацией типов в случае, когда одно из λi равно нулю.
29. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду с
классификацией типов в случае, когда два из λi равны нулю.
30. Доказать теорему о возможности расщепления пространства X, в котором действует
линейный оператор, в прямую сумму корневых подпространств:
31. Выбор базиса в корневом подпространстве. Расщепление корневого подпространства на
прямую сумму циклических подпространств.
32. Теорема о жордановой нормальной форме линейного оператора и основные этапы ее
доказательства.
33. λ − матрицы. Элементарные преобразования λ − матриц. Доказать, что всякую
λ − матрицу путем элементарных преобразований можно привести к нормальной
диагональной форме.
34. Доказать, что нормальная диагональная форма λ — матрицы определяется однозначно.
35. Определение и свойства функции от матрицы. Вычисление функции от матрицы через ее
жорданову форму.
36. Интерполяционный многочлен Лагранжа – Сильвестра и основная формула.
