Реферат по высшей математике на тему «Рациональные числа. Дробные числа. Дроби в Древнем Египте, Древнем Риме», МУИВ

ВВЕДЕНИЕ Число понимается и принимается античными мыслителями как первая сущность, определяющая связи мира, основанного на мере и числе, соразмерного (симметричного) и гармоничного. «Числу все вещи подобны», — утверждает Пифагор. Эта тема актуальна, поскольку мы хотим узнать больше о рациональных числах, заглянуть в их историю происхождения. В дальнейшем мы должны в очень значительной степени расширить понятие числа, связываемое первоначально с натуральным рядом, для того чтобы сконструировать мощный инструмент, способный удовлетворять потребностям и практики, и теории. Исторически — в процессе долгой и неуверенно протекавшей эволюции — нуль, целые отрицательные числа и рациональные дроби приобрели постепенно те же права, что и числа натурального ряда. Хотя обобщения понятия числа употреблялись уже столетия тому назад и на них базируется вся современная математика, но на прочный логический фундамент они были поставлены лишь в недавнее время. В настоящей работе мы дадим очерк основных этапов этого развития. Целью данной работы является рассмотрение таких математических понятий, как: рациональные числа, дроби и их применение в Древнем Египте, Риме. Задачи работы:

• ознакомиться с понятиями рациональных чисел и дробей;
• изучить применение дробей в Древнем Египте;
• рассмотреть особенности применения дробей в Древнем Риме.

1. Понятия рациональных и дробных чисел

Рациональное число — это число, которое может быть представлено в виде дроби , где a — это числитель дроби, b — знаменатель дроби. Причем b не должно быть нулём, поскольку деление на ноль не допускается. К рациональным числам относятся следующие категории чисел:

• целые числа (например −2, −1, 0 1, 2 и т.д.);
• обыкновенные дроби (например , ,    и т.п.);
• смешанные числа (например , ,    и т.п.);
• десятичные дроби (например 0,2 и т.п.)
• бесконечные периодические дроби (например 0,(3) и т.п.)

Каждое число из этой категории может быть представлено в виде дроби . Например, целое число 2 может быть представлено в виде дроби  . Значит число 2 относится не только к целым числам, но и к рациональным. В общей математической символике подъединица, получаемая при подразделении первоначальной единицы на n частей, обозначается символом , и если рассматриваемая величина содержит ровно m таких подъединиц, то ее мера тогда есть  Этот символ называется дробью или отношением. Последний, и самый существенный, шаг был совершен уже осознанно, после многих столетий накопления отдельных усилий: символ  был освобожден от его конкретной связи с процессом измерения и самими измеряемыми величинами и стал рассматриваться как отвлеченное число, самостоятельная сущность, уравненная в своих правах с натуральным числом. Употребление термина «число» (первоначально под «числами» понимали только натуральные числа) применительно к новым символам оправдывается тем обстоятельством, что сложение и умножение этих символов подчиняются тем же законам, что и соответствующие операции над натуральными числами. Чтобы в этом убедиться, нужно сначала определить, в чем заключается сложение и умножение рациональных чисел, а также определить, какие рациональные числа признаются равными между собой. Эти определения таковы: где a, b, c, d – произвольные натуральные числа. К примеру: Чтобы выяснить вопрос о происхождении дроби, надо остановиться не на счете, а на другом процессе, который возник со стародавних времен, — на измерении. Исторически дроби возникли в процессе измерения. В основе любого измерения всегда лежит какая-то величина (длина, объем, вес и т.д.). Потребность в более точных измерениях привела к тому, что начальные единицы меры начали дробить на 2, 3 и более частей. Более мелкой единице меры, которую получали как следствие раздробления, давали индивидуальное название, и величины измеряли уже этой более мелкой единицей. Так возникали первые конкретные дроби как определенные части каких-то определенных мер. Только гораздо позже названиями этих конкретных дробей начали обозначать такие же самые части других величин, а потом и абстрактные дроби.

2. Применение дробей в Древнем Египте

Египетская дробь — в математике сумма нескольких (конечного числа) попарно различных дробей вида  (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число. Египетские дроби были изобретены и впервые использованы в древнем Египте. Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан писцом Ахмесом в эпоху Второго переходного периода; он включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида , а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей. Египтяне ставили иероглиф (ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. К примеру: У них также были специальные символы для дробей ,  и , которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем ). Египтяне использовали также и другие формы записи, основанные на иероглифе Глаз Хора для представления специального набора дробей вида k (для k = 1, 2, …, 6), то есть, двухэлементных рациональных чисел. Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат, основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. Если после записи количества в виде дроби Глаза Хора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро, единице измерения, равной  хеката. Например, так: При этом «рот» помещался перед всеми иероглифами. Египетские дроби продолжались использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков (к примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой). Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci». Основная тема «Liber Abaci» — вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские. 

3. Применение дробей в Древнем Риме

Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью — весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено  пути или прочтено  книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия. Даже сейчас иногда говорят: «Он скрупулёзно изучил этот вопрос.» Это значит, что вопрос изучен до конца, что не одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово «скрупулёзно» от римского названия  асса — «скрупулус». В ходу были и такие названия: «семис»- половина асса, «секстанс»- шестая его доля, «семиунция»- половина унции, т.е.  асса и т.д. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, надо было помнить для этих дробей таблицу сложения и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса (  асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса ( асса) на сескунцию (  унции, т.е.  асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до нас.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе были рассмотрены такие понятия, как рациональные числа и дроби, применение дробей в Древнем Египте и Древнем Риме. Было выяснено, что число является одним из основных понятий математики, оно зародилось в глубокой древности. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Любопытно отметить, что у многих народов для обозначения числа 1 применялся один и тот же символ — вертикальная чёрточка. Это самое древнее число в истории человечества. Оно возникло из простой черты на земле, из зарубки на дереве или кости. Около 3 — 2,5 тыс. лет до новой эры древние египтяне придумали свою числовую систему. В ней ключевые числа: 1, 10, 100 и т. д. — изображались специальными значками — иероглифами. Египтяне высекали их на стенах погребальных камер, писали тростниковым пером на свитках папируса. Величина числа, записанного в иероглифической системе, не зависит от того, в каком порядке расположены составляющие его знаки. Даже если записать их справа налево, один под другим или вперемешку — число от этого не изменится. В результате упрощений и стилизаций от иероглифов позднее произошли условные знаки, облегчающие письмо от руки. Они легли в основу так называемого иератического письма (от греч. «иератикос» — «священный»). Эту систему записи чисел можно обнаружить в более поздних египетских папирусах. Замечательным достижением индийских математиков было введение понятия нуля и знака для него, что позволило им создать десятичную систему записи натуральных чисел и разработать правила операций над записанными так числами. Эту запись чисел стали применять математики многих восточных стран, откуда она попала в Европу.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Босс, В. Лекции по математике: Теория чисел / В. Босс. — М.: Ленанд, 2017. — 224 c.
2. Бухштаб, А.А. Теория чисел: Учебное пособие / А.А. Бухштаб. — СПб.: Лань, 2015. — 384 c.
3. Рыбников, К.А. История математики: Подисциплинарное изложение: Геометрия. Алгебра и теория чисел. Математический анализ. Теория вероятностей и математическая статистика. Дискретная математика / К.А. Рыбников. — М.: Ленанд, 2018. — 536 c.
4. Серовайский, С.Я. История математики: Эволюция математических идей: Теория чисел. Геометрия. Топология / С.Я. Серовайский. — М.: Ленанд, 2019. — 224 c.
5. Из истории возникновения дробей. [Электронный ресурс] — Режим доступа: https://school-science.ru/3/7/33498 (дата обращения: 03.01.2020).